Номер 101, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

101. a) В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны $4\sqrt{3}$ см и $10\sqrt{3}$ см. Найдите площадь ее боковой поверхности, если острый двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$.
б) Диагонали оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 12 см и 4 см, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды.

а)

Дано

Правильная треугольная усеченная пирамида.

Стороны оснований: $a_1 = 10\sqrt{3}$ см, $a_2 = 4\sqrt{3}$ см.

Острый двугранный угол при ребре основания: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 10\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$a_2 = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 60^\circ$

Найти: $S_{бок}$

Решение

Так как пирамида правильная треугольная усеченная, ее основания представляют собой правильные (равносторонние) треугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из суммы площадей этих трех трапеций.

Формула для апофемы (радиуса вписанной окружности) правильного треугольника со стороной $a$ выглядит так: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Апофема нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 5$ см.

Апофема верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды ($H$), апофемой боковой грани ($h_{бок}$) и проекцией апофемы на основание. Проекция апофемы на основание равна разности апофем оснований: $h_{проекции} = r_1 - r_2$.

$h_{проекции} = 5 - 2 = 3$ см.

Острый двугранный угол при ребре основания $\alpha = 60^\circ$ — это угол между апофемой боковой грани и ее проекцией на основание. В указанном прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{h_{проекции}}{h_{бок}}$.

Отсюда найдем апофему боковой грани $h_{бок}$: $h_{бок} = \frac{h_{проекции}}{\cos \alpha} = \frac{3}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{0.5} = 6$ см.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_{бок}$.

$S_{трапеции} = \frac{10\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = \frac{14\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 7\sqrt{3} \cdot 6 = 42\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней. Поскольку пирамида треугольная, у нее 3 боковые грани.

$S_{бок} = 3 \cdot S_{трапеции} = 3 \cdot 42\sqrt{3} = 126\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $126\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Дано

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Диагонали оснований: $d_1 = 12$ см, $d_2 = 4$ см.

Двугранный угол при ребре нижнего основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$d_1 = 12 \cdot 10^{-2}$ м

$d_2 = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 45^\circ$

Найти: $S_{бок}$

Решение

Так как пирамида правильная четырехугольная усеченная, ее основания — квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из суммы площадей этих четырех трапеций.

Для квадрата со стороной $a$ диагональ $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, сторона квадрата $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Сторона нижнего основания: $a_1 = \frac{d_1}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Сторона верхнего основания: $a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Формула для апофемы (радиуса вписанной окружности) правильного квадрата со стороной $a$ выглядит так: $r = \frac{a}{2}$.

Апофема нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Апофема верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды ($H$), апофемой боковой грани ($h_{бок}$) и проекцией апофемы на основание. Проекция апофемы на основание равна разности апофем оснований: $h_{проекции} = r_1 - r_2$.

$h_{проекции} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Двугранный угол при ребре нижнего основания $\alpha = 45^\circ$ — это угол между апофемой боковой грани и ее проекцией на основание. В указанном прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{h_{проекции}}{h_{бок}}$.

Отсюда найдем апофему боковой грани $h_{бок}$: $h_{бок} = \frac{h_{проекции}}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{2}}{\cos 45^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_{бок}$.

$S_{трапеции} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 4\sqrt{2} \cdot 4 = 16\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней. Поскольку пирамида четырехугольная, у нее 4 боковые грани.

$S_{бок} = 4 \cdot S_{трапеции} = 4 \cdot 16\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2}$ см$^2$.