Номер 105, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

105. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 4 дм, а боковое ребро – 3 дм. Установите, что многогранник $ABCMB_1N$, где точки $M$ и $N$ – середины отрезков $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно, является усеченной пирамидой, и найдите площадь ее боковой поверхности.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$.

Сторона основания призмы $a = 4$ дм.

Боковое ребро призмы (высота) $h = 3$ дм.

Точка $M$ - середина отрезка $A_1B_1$.

Точка $N$ - середина отрезка $B_1C_1$.

Многогранник: $ABCMB_1N$.

Перевод в СИ:

$a = 4$ дм $= 0.4$ м.

$h = 3$ дм $= 0.3$ м.

Найти:

1. Установить, что многогранник $ABCMB_1N$ является усеченной пирамидой.

2. Площадь ее боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение

Установление, что многогранник является усеченной пирамидой:

1. Нижнее основание многогранника - треугольник $ABC$. Так как призма является правильной треугольной, основание $ABC$ - это равносторонний треугольник со стороной $a_1 = 4$ дм.

2. Верхнее основание многогранника - это треугольник $MB_1N$.

• По условию, $M$ - середина $A_1B_1$. Так как $A_1B_1C_1$ - равносторонний треугольник со стороной $4$ дм (как и $ABC$), то $MB_1 = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ дм.
• По условию, $N$ - середина $B_1C_1$. Следовательно, $NB_1 = \frac{1}{2}B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ дм.
• Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Значит, $MN$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. Следовательно, $MN \parallel A_1C_1$ и $MN = \frac{1}{2}A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ дм.

Таким образом, верхнее основание $MB_1N$ является равносторонним треугольником со стороной $a_2 = 2$ дм.

3. Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в параллельных плоскостях. Поскольку $MB_1N$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то плоскости, содержащие $ABC$ и $MB_1N$, параллельны. Также, поскольку $ABC$ и $MB_1N$ оба являются равносторонними треугольниками, они подобны.

4. Боковые грани многогранника $ABCMB_1N$ образованы соединением соответствующих сторон нижнего и верхнего оснований. Эти грани: $ABB_1M$, $BCNB_1$, $ACNM$.

• Грань $ABB_1M$: $AB$ и $MB_1$ параллельны ($AB \parallel A_1B_1$, а $MB_1$ лежит на $A_1B_1$). Таким образом, $ABB_1M$ является трапецией.
• Грань $BCNB_1$: $BC$ и $NB_1$ параллельны ($BC \parallel B_1C_1$, а $NB_1$ лежит на $B_1C_1$). Таким образом, $BCNB_1$ является трапецией.
• Грань $ACNM$: $AC \parallel A_1C_1$ и $MN \parallel A_1C_1$, следовательно, $AC \parallel MN$. Таким образом, $ACNM$ является трапецией.

Поскольку многогранник $ABCMB_1N$ имеет два параллельных и подобных основания ($ABC$ и $MB_1N$), а его боковые грани являются трапециями, он является усеченной пирамидой по определению.

Ответ: многогранник $ABCMB_1N$ является усеченной пирамидой, так как имеет два параллельных и подобных основания ($ABC$ и $MB_1N$) и три боковые грани, являющиеся трапециями ($ABB_1M$, $BCNB_1$, $ACNM$).

Нахождение площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

1. Площадь трапеции $ABB_1M$:

Параллельные стороны трапеции: $AB = 4$ дм и $MB_1 = 2$ дм.

Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно стороне $AB$ (лежащей в нижнем основании) и стороне $MB_1$ (лежащей в верхнем основании).

Таким образом, трапеция $ABB_1M$ является прямоугольной, и ее высота равна длине бокового ребра призмы $h_{trap1} = BB_1 = 3$ дм.

$S_{ABB_1M} = \frac{AB + MB_1}{2} \cdot h_{trap1} = \frac{4+2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ дм$^2$.

2. Площадь трапеции $BCNB_1$:

Параллельные стороны трапеции: $BC = 4$ дм и $NB_1 = 2$ дм.

Аналогично, ребро $BB_1$ перпендикулярно $BC$ и $NB_1$. Следовательно, трапеция $BCNB_1$ также является прямоугольной, и ее высота равна длине бокового ребра призмы $h_{trap2} = BB_1 = 3$ дм.

$S_{BCNB_1} = \frac{BC + NB_1}{2} \cdot h_{trap2} = \frac{4+2}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ дм$^2$.

3. Площадь трапеции $ACNM$:

Параллельные стороны трапеции: $AC = 4$ дм и $MN = 2$ дм.

Найдем длины непараллельных сторон $AM$ и $CN$. Введем систему координат: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(2, 2\sqrt{3}, 0)$. Тогда $A_1(0,0,3)$, $B_1(4,0,3)$, $C_1(2, 2\sqrt{3}, 3)$.

Точка $M$ - середина $A_1B_1$: $M\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = M(2,0,3)$.

Точка $N$ - середина $B_1C_1$: $N\left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+2\sqrt{3}}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = N(3,\sqrt{3},3)$.

Длина $AM = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2+0^2+3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ дм.

Длина $CN = \sqrt{(3-2)^2 + (\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{1+3+9} = \sqrt{13}$ дм.

Так как $AM = CN$, трапеция $ACNM$ является равнобедренной.

Высота равнобедренной трапеции $h_{trap3}$ с основаниями $b_1=4$ дм, $b_2=2$ дм и боковой стороной $c=\sqrt{13}$ дм находится по формуле: $h_{trap3}^2 + \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2 = c^2$.

$h_{trap3}^2 + \left(\frac{4-2}{2}\right)^2 = (\sqrt{13})^2$.

$h_{trap3}^2 + 1^2 = 13$.

$h_{trap3}^2 = 12$.

$h_{trap3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ дм.

Площадь $S_{ACNM} = \frac{AC + MN}{2} \cdot h_{trap3} = \frac{4+2}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ дм$^2$.

4. Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{ABB_1M} + S_{BCNB_1} + S_{ACNM} = 9 + 9 + 6\sqrt{3} = 18 + 6\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: $(18 + 6\sqrt{3})$ дм$^2$.