Номер 106, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

106. a) Отрезок $B_1B$, равный 9 см, является высотой треугольной усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$. Известны стороны нижнего основания $AB = BC = 10$ см, $AC = 12$ см. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды, если отношение площадей ее верхнего и нижнего оснований равно $\frac{4}{25}$.

Рисунок 70

б) Изготовьте модель усеченной пирамиды, данной в задаче а). На рисунке 70 показана уменьшенная развертка этой усеченной пирамиды с клапанами для склеивания.

a)

Дано:

Треугольная усеченная пирамида $ABCA_1B_1C_1$.

Высота (отрезок $B_1B$) $H = 9 \text{ см}$.

Стороны нижнего основания $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$.

Отношение площадей верхнего и нижнего оснований $S_{верх} / S_{ниж} = 4/25$.

Перевод в СИ:

$H = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$AB = BC = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Найдем площадь нижнего основания $S_{ниж}$. Нижнее основание – равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$. Высота $h_{AC}$ опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$ делит $AC$ пополам. Пусть $M$ – середина $AC$. Тогда $AM = MC = 12/2 = 6 \text{ см}$. По теореме Пифагора для треугольника $BMC$: $BM^2 = BC^2 - MC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Следовательно, $BM = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$. Площадь нижнего основания: $S_{ниж} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь верхнего основания $S_{верх}$. Известно, что $S_{верх} / S_{ниж} = 4/25$. $S_{верх} = S_{ниж} \cdot \frac{4}{25} = 48 \text{ см}^2 \cdot \frac{4}{25} = \frac{192}{25} \text{ см}^2 = 7.68 \text{ см}^2$.

3. Найдем коэффициент подобия $k$ между верхним и нижним основаниями. Для подобных фигур отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: $k^2 = S_{верх} / S_{ниж} = 4/25$. Следовательно, $k = \sqrt{4/25} = 2/5$.

4. Определим длины сторон верхнего основания $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = k \cdot AB = (2/5) \cdot 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$. $B_1C_1 = k \cdot BC = (2/5) \cdot 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$. $A_1C_1 = k \cdot AC = (2/5) \cdot 12 \text{ см} = 4.8 \text{ см}$. Высота $B_1M_1$ верхнего основания (из $B_1$ на $A_1C_1$) будет $B_1M_1 = k \cdot BM = (2/5) \cdot 8 \text{ см} = 3.2 \text{ см}$.

5. Определим площади боковых граней. Указано, что отрезок $B_1B$ является высотой пирамиды, то есть он перпендикулярен плоскостям обоих оснований. Это означает, что боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются прямоугольными трапециями, так как их сторона $BB_1$ перпендикулярна основаниям $AB, A_1B_1$ и $BC, B_1C_1$ соответственно (вдоль ребра $BB_1$). Площадь грани $ABB_1A_1$ (прямоугольная трапеция): $S_{ABB_1A_1} = \frac{1}{2}(AB + A_1B_1) \cdot BB_1 = \frac{1}{2}(10 \text{ см} + 4 \text{ см}) \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 7 \cdot 9 = 63 \text{ см}^2$. Площадь грани $BCC_1B_1$ (прямоугольная трапеция): $S_{BCC_1B_1} = \frac{1}{2}(BC + B_1C_1) \cdot BB_1 = \frac{1}{2}(10 \text{ см} + 4 \text{ см}) \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 7 \cdot 9 = 63 \text{ см}^2$.

6. Найдем площадь грани $ACC_1A_1$. Это трапеция с параллельными сторонами $AC=12 \text{ см}$ и $A_1C_1=4.8 \text{ см}$. Для нахождения ее площади нужна высота этой трапеции. Пусть $M$ – середина $AC$, а $M_1$ – середина $A_1C_1$. Отрезок $BM$ – высота треугольника $ABC$ ($BM=8 \text{ см}$), а $B_1M_1$ – высота треугольника $A_1B_1C_1$ ($B_1M_1=3.2 \text{ см}$). Поскольку $BB_1$ перпендикулярен плоскости нижнего основания, то $BB_1 \perp BM$. Рассмотрим плоскость, проходящую через $B, B_1, M, M_1$. В этой плоскости образуется прямоугольная трапеция $BMM_1B_1$ со сторонами $BB_1=9 \text{ см}$ (высота), $BM=8 \text{ см}$ и $B_1M_1=3.2 \text{ см}$ (параллельные стороны). Высотой трапеции $ACC_1A_1$ является отрезок $MM_1$. Для нахождения длины $MM_1$ опустим перпендикуляр из $M_1$ на $BM$. Пусть это будет точка $K$. Тогда $B_1K = BB_1 = 9 \text{ см}$ и $MK = BM - B_1M_1 = 8 \text{ см} - 3.2 \text{ см} = 4.8 \text{ см}$. Теперь найдем $MM_1$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $M_1KM$: $MM_1^2 = B_1K^2 + MK^2 = 9^2 + (4.8)^2 = 81 + 23.04 = 104.04$. $MM_1 = \sqrt{104.04} = 10.2 \text{ см}$. Площадь грани $ACC_1A_1$: $S_{ACC_1A_1} = \frac{1}{2}(AC + A_1C_1) \cdot MM_1 = \frac{1}{2}(12 \text{ см} + 4.8 \text{ см}) \cdot 10.2 \text{ см} = \frac{1}{2}(16.8 \text{ см}) \cdot 10.2 \text{ см} = 8.4 \cdot 10.2 = 85.68 \text{ см}^2$.

7. Общая площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} = 63 \text{ см}^2 + 63 \text{ см}^2 + 85.68 \text{ см}^2 = 211.68 \text{ см}^2$. Переведем в м$^2$: $S_{бок} = 211.68 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 211.68 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.021168 \text{ м}^2$.

Ответ: $211.68 \text{ см}^2$ или $0.021168 \text{ м}^2$.

б)

Для изготовления модели усеченной пирамиды, представленной в задаче а), необходимо использовать развертку, показанную на рисунке 70. Процесс изготовления включает в себя следующие шаги: распечатать или аккуратно перерисовать уменьшенную развертку (Рисунок 70) на плотной бумаге или картоне в натуральную величину, рассчитанную по данным задачи а). Затем аккуратно вырезать развертку по внешним контурам, включая клапаны для склеивания (заштрихованные области). После этого согнуть развертку по всем линиям сгиба (линиям, разделяющим основания и боковые грани, а также линиям, разделяющим боковые грани друг от друга). Наконец, нанести клей на клапаны и последовательно склеить грани пирамиды, начиная с одной из боковых граней, присоединяя их к нижнему основанию и друг к другу. Затем приклеить верхнее основание к соответствующим граням, используя оставшиеся клапаны. Убедиться, что все края плотно соединены.

Ответ: Модель изготавливается путем вырезания, сгибания по линиям и склеивания клапанов развертки, показанной на рисунке 70.