Номер 107, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

107. Площадь основания пирамиды равна 512 см$^{\text{2}}$, а ее высота равна 16 см.

На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, площадь которого равна 50 см$^{\text{2}}$?

Дано

Площадь основания пирамиды: $S_{осн} = 512 \text{ см}^2$

Высота пирамиды: $H = 16 \text{ см}$

Площадь сечения: $S_{сеч} = 50 \text{ см}^2$

Сечение параллельно основанию.

Переведем данные в систему СИ:

$S_{осн} = 512 \text{ см}^2 = 512 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 512 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0512 \text{ м}^2$

$H = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$S_{сеч} = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0050 \text{ м}^2$

Найти:

Расстояние от основания до сечения ($d$)

Решение

Для пирамиды (или конуса) существует свойство: если сечение параллельно основанию, то отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения расстояния от вершины до сечения к высоте всей пирамиды.

Математически это выражается формулой: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$, где $h$ - высота от вершины до сечения, $H$ - высота всей пирамиды.

Из этой формулы выразим $h$:

$h^2 = H^2 \cdot \frac{S_{сеч}}{S_{осн}}$

$h = H \cdot \sqrt{\frac{S_{сеч}}{S_{осн}}}$

Теперь подставим числовые значения в единицах СИ:

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{0.0050 \text{ м}^2}{0.0512 \text{ м}^2}}$

Вычислим значение под корнем:

$\frac{0.0050}{0.0512} = \frac{50}{512} = \frac{25}{256}$

Продолжим вычисление $h$:

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{25}{256}}$

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{256}}$

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \frac{5}{16}$

$h = \frac{0.16 \cdot 5}{16} \text{ м} = \frac{0.8}{16} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Значение $h$ (расстояние от вершины пирамиды до сечения) равно $0.05 \text{ м}$. Задача же требует найти расстояние от основания до сечения ($d$).

Это расстояние можно найти как разность между высотой всей пирамиды и расстоянием от вершины до сечения:

$d = H - h$

$d = 0.16 \text{ м} - 0.05 \text{ м}$

$d = 0.11 \text{ м}$

Для удобства переведем ответ обратно в сантиметры:

$d = 0.11 \text{ м} = 0.11 \cdot 100 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Ответ: 11 см