Номер 103, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

103. Площадь основания правильной треугольной пирамиды – $16\sqrt{3}$ см$^2$,

ее апофема равна 10 см. Через середину высоты пирамиды построено сечение плоскостью, параллельной основанию. Найдите площадь полной поверхности получившейся при этом усеченной пирамиды.

Дано:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды $S_{осн} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Апофема правильной треугольной пирамиды $l = 10$ см.

Плоскость сечения параллельна основанию и проходит через середину высоты.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 16\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$l = 10 \text{ см} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн.ус.пир}$.

Решение:

1. Найдем сторону основания $a_1$ исходной правильной треугольной пирамиды. Площадь правильного треугольника $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Для нижнего основания: $S_{осн} = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим известные значения: $16\sqrt{3} = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $16 = \frac{a_1^2}{4}$.

Отсюда $a_1^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, $a_1 = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Плоскость сечения проходит через середину высоты пирамиды параллельно основанию. Это означает, что отсеченная верхняя часть является малой пирамидой, подобной исходной пирамиде. Коэффициент подобия $k$ по линейным размерам равен отношению высот, то есть $k = \frac{1}{2}$.

Сторона верхнего основания $a_2$ усеченной пирамиды (которая является основанием отсеченной малой пирамиды) будет в $k$ раз меньше стороны нижнего основания:

$a_2 = k \cdot a_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. Площадь верхнего основания $S_{верх}$ усеченной пирамиды.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия ($k^2$), то $S_{верх} = k^2 \cdot S_{осн}$.

$S_{верх} = (\frac{1}{2})^2 \cdot 16\sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot 16\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Либо, используя сторону $a_2$:

$S_{верх} = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

4. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $S_{бок.ус.пир}$. Боковая поверхность усеченной пирамиды состоит из трех равных трапеций.

Апофема $l_{ус}$ усеченной пирамиды (высота боковой грани-трапеции) равна разности апофемы исходной пирамиды $l$ и апофемы отсеченной малой пирамиды $l_2$. Так как линейные размеры отсеченной пирамиды в 2 раза меньше, чем исходной, то $l_2 = l/2 = 10/2 = 5$ см.

Следовательно, $l_{ус} = l - l_2 = 10 - 5 = 5$ см.

Периметр нижнего основания $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Периметр верхнего основания $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок.ус.пир} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_{ус}$.

$S_{бок.ус.пир} = \frac{1}{2}(24 + 12) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$ см$^2$.

5. Найдем полную площадь поверхности усеченной пирамиды $S_{полн.ус.пир}$. Полная площадь поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей нижнего основания, верхнего основания и боковой поверхности:

$S_{полн.ус.пир} = S_{осн} + S_{верх} + S_{бок.ус.пир}$

$S_{полн.ус.пир} = 16\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 90 = 20\sqrt{3} + 90$ см$^2$.

Ответ: $20\sqrt{3} + 90$ см$^2$.