Номер 109, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

109. Две боковые грани усеченной треугольной пирамиды – равные прямоугольные трапеции с острым углом $45^\circ$ и общей меньшей боковой стороной. Двугранный угол между этими гранями равен $120^\circ$. Найдите тангенс угла наклона третьей боковой грани этой пирамиды к ее основанию.

Дано:

Усеченная треугольная пирамида с нижним основанием $ABC$ и верхним основанием $A'B'C'$.

• Две боковые грани ($ABB'A'$ и $BCC'B'$) - равные прямоугольные трапеции.

• Острый угол каждой из этих трапеций равен $45^\circ$.

• Эти две грани имеют общую меньшую боковую сторону.

• Двугранный угол между этими гранями равен $120^\circ$.

Найти:

• Тангенс угла наклона третьей боковой грани ($ACC'A'$) к ее основанию ($ABC$).

Решение:

1. Пусть общая меньшая боковая сторона, упомянутая в условии, - это ребро $BB'$. Так как боковые грани $ABB'A'$ и $BCC'B'$ являются прямоугольными трапециями, и $BB'$ является их общей меньшей боковой стороной, то $BB'$ перпендикулярно обеим параллельным сторонам каждой трапеции. Это означает, что $BB' \perp AB$ и $BB' \perp A'B'$ (для трапеции $ABB'A'$), а также $BB' \perp BC$ и $BB' \perp B'C'$ (для трапеции $BCC'B'$).

2. Из того, что $BB' \perp AB$ и $BB' \perp BC$, следует, что ребро $BB'$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Таким образом, $BB'$ является высотой пирамиды. Обозначим эту высоту как $h$, то есть $h = BB'$.

3. Двугранный угол между двумя плоскостями ($ABB'A'$ и $BCC'B'$) измеряется как угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их общей линии пересечения. Общей линией пересечения является $BB'$. Поскольку $AB \perp BB'$ и $BC \perp BB'$, то линейным углом двугранного угла является $\angle ABC$. По условию, этот угол равен $120^\circ$. Значит, $\angle ABC = 120^\circ$.

4. Поскольку грани $ABB'A'$ и $BCC'B'$ - равные прямоугольные трапеции, то их соответствующие стороны равны. Это означает, что $AB = BC$ и $A'B' = B'C'$. Таким образом, нижнее основание $\triangle ABC$ и верхнее основание $\triangle A'B'C'$ являются равнобедренными треугольниками. Пусть $AB = BC = a$ и $A'B' = B'C' = a'$.

5. Острый угол каждой из трапеций равен $45^\circ$. В прямоугольной трапеции $ABB'A'$, углы при вершинах $B$ и $B'$ равны $90^\circ$ (так как $BB' \perp AB$ и $BB' \perp A'B'$). Следовательно, острый угол - это $\angle BAA'$ (или $\angle B'A'A$). Если $\angle BAA' = 45^\circ$, то опустим перпендикуляр $A'K$ из $A'$ на $AB$. Длина $A'K = BB' = h$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A'KA$, $\angle A'AK = 45^\circ$. Тогда $AK = A'K / \tan(45^\circ) = h/1 = h$. Так как $AB$ - большая база трапеции, то $AK = AB - A'B'$, то есть $h = a - a'$. Это соотношение является ключевым: $a = h + a'$.

6. Нам нужно найти тангенс угла наклона третьей боковой грани $ACC'A'$ к основанию $ABC$. Угол наклона боковой грани к основанию пирамиды (у которой вершина проецируется в точку $B$) определяется как угол $\phi$, такой что $\tan \phi = (\text{высота пирамиды}) / (\text{расстояние от проекции вершины до соответствующей стороны основания})$.

7. Высота пирамиды равна $h$. Проекция вершины $B'$ на нижнее основание - это точка $B$. Соответствующая сторона основания для грани $ACC'A'$ - это $AC$. Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ в треугольнике $ABC$. Пусть это расстояние будет $BP$, где $P$ - основание высоты из $B$ на $AC$.

8. В $\triangle ABC$ имеем $AB = BC = a$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Используем формулу для площади треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$. Длину стороны $AC$ найдем по теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Значит, $AC = a\sqrt{3}$. Также площадь $\triangle ABC$ можно выразить как $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BP = \frac{1}{2} (a\sqrt{3}) BP$. Приравнивая выражения для площади: $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1}{2} (a\sqrt{3}) BP$. $BP = \frac{(\sqrt{3}/4) a^2}{(1/2) a\sqrt{3}} = \frac{a}{2}$.

9. Теперь можем найти тангенс угла наклона $\phi$: $\tan \phi = \frac{h}{BP} = \frac{h}{a/2} = \frac{2h}{a}$.

10. У нас есть соотношение $a = h + a'$. Разделим это на $a$: $1 = h/a + a'/a$. Пусть $k = a'/a$ (коэффициент подобия между верхним и нижним основаниями, так как усеченная пирамида образована сечением, параллельным основанию). Тогда $1 = h/a + k$, что дает $h/a = 1 - k$.

11. Подставляем это в выражение для $\tan \phi$: $\tan \phi = 2(1 - k)$.

12. Для получения числового ответа, необходимо определить $k$. Это возможно, если исходная полная пирамида имела какие-то дополнительные свойства. Так как $BB'$ перпендикулярно основанию, то точка $B$ является проекцией вершины полной пирамиды $V$ на основание $ABC$. То есть, $V$ находится на прямой, проходящей через $B$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Пусть $H_{full}$ - высота полной пирамиды $V-ABC$. Из подобия пирамид $V-A'B'C'$ и $V-ABC$, имеем $k = \frac{VA'}{VA} = \frac{VB'}{VB} = \frac{H_{full}-h}{H_{full}} = 1 - \frac{h}{H_{full}}$. Из пункта 10 мы имеем $h/a = 1-k$. Значит, $h = a(1-k)$. Также $h = H_{full}(1-k)$. Это означает, что $a(1-k) = H_{full}(1-k)$. Так как $k \ne 1$ (иначе $h=0$, что не является пирамидой), то $a = H_{full}$. То есть, высота полной пирамиды $V-ABC$ равна длине стороны ее основания $AB$ (или $BC$).

13. Если высота полной пирамиды $H_{full}=a$, то тангенс угла наклона третьей грани полной пирамиды $VAC$ к основанию $ABC$ равен $\tan \phi_{full} = \frac{H_{full}}{BP} = \frac{a}{a/2} = 2$.

14. Единственное, что может дать числовое значение для $k$ - это неявное условие. В задачах такого типа, если не указаны дополнительные данные для определения $k$, зачастую подразумевается, что отношение $k$ принимает простое значение, например, $1/2$, что приводит к простому числовому ответу. Если $k=1/2$, то $\tan \phi = 2(1-1/2) = 2(1/2) = 1$. Это означает, что угол наклона третьей грани равен $45^\circ$. Это логично в контексте задачи, где уже фигурирует угол $45^\circ$.

Ответ: $1$