Номер 112, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

112. Ортогональной проекцией вершины треугольной пирамиды является центр окружности, вписанной в ее основание, стороны которого равны 20 см, 16 см и 12 см. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отделило от нее усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как 9 : 16. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, если ее высота равна $4\sqrt{3}$ см.

Дано:

$a = 20 \text{ см}$, $b = 16 \text{ см}$, $c = 12 \text{ см}$ - стороны основания треугольной пирамиды.

$S_1 : S_2 = 9 : 16$ - отношение площадей оснований усеченной пирамиды.

$H_{frustum} = 4\sqrt{3} \text{ см}$ - высота усеченной пирамиды.

Орторектральная проекция вершины пирамиды - центр вписанной окружности в основание.

Перевод в СИ:

$a = 0.20 \text{ м}$

$b = 0.16 \text{ м}$

$c = 0.12 \text{ м}$

$H_{frustum} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$S_{бок, усеч}$ - площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Решение:

1. Для начала найдем характеристики основания исходной пирамиды. Основание - треугольник со сторонами $a=20 \text{ см}$, $b=16 \text{ см}$, $c=12 \text{ см}$.

Полупериметр основания: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+16+12}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}$.

Площадь основания $S_{base}$ вычислим по формуле Герона:

$S_{base} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-20)(24-16)(24-12)}$

$S_{base} = \sqrt{24 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 12} = \sqrt{9216} = 96 \text{ см}^2$.

Радиус вписанной окружности $r$ в основание равен: $r = \frac{S_{base}}{p} = \frac{96}{24} = 4 \text{ см}$.

2. Рассмотрим отношение площадей оснований усеченной пирамиды. Пусть $S_2$ - площадь основания исходной пирамиды (которая является большим основанием усеченной пирамиды), а $S_1$ - площадь верхнего основания усеченной пирамиды.

Дано $S_1 : S_2 = 9 : 16$. Это отношение площадей подобных фигур (оснований пирамид). Коэффициент подобия $k$ между меньшей (отсеченной) пирамидой и исходной пирамидой равен корню из отношения площадей их оснований:

$k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

Отношение высот подобных пирамид равно коэффициенту подобия. Пусть $H$ - высота исходной пирамиды, а $h$ - высота отсеченной верхней пирамиды. Тогда $\frac{h}{H} = k = \frac{3}{4}$, откуда $h = \frac{3}{4}H$.

Высота усеченной пирамиды $H_{frustum}$ равна разности высот исходной и отсеченной пирамид: $H_{frustum} = H - h$.

$H_{frustum} = H - \frac{3}{4}H = \frac{1}{4}H$.

Подставим известное значение $H_{frustum}$: $4\sqrt{3} = \frac{1}{4}H$, откуда $H = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Поскольку ортогональная проекция вершины пирамиды является центром вписанной окружности в основание, то все боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Следовательно, апофема $l$ (высота боковой грани) одинакова для всех боковых граней. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и радиусом вписанной окружности $r$ (который является радиусом, перпендикулярным стороне основания в точке касания апофемы).

$l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + 4^2}$

$l = \sqrt{256 \cdot 3 + 16} = \sqrt{768 + 16} = \sqrt{784}$.

$l = 28 \text{ см}$.

4. Найдем площадь боковой поверхности исходной пирамиды $S_{бок, ориг}$.

Периметр основания $P_{base} = a+b+c = 20+16+12 = 48 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна: $S_{бок, ориг} = \frac{1}{2} P_{base} \cdot l$.

$S_{бок, ориг} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 28 = 24 \cdot 28 = 672 \text{ см}^2$.

5. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $S_{бок, усеч}$ можно найти как разность площадей боковых поверхностей исходной пирамиды и отсеченной верхней пирамиды ($S_{бок, мал}$).

Площади боковых поверхностей подобных пирамид относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{бок, мал} = k^2 \cdot S_{бок, ориг}$.

$S_{бок, мал} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot S_{бок, ориг} = \frac{9}{16} S_{бок, ориг}$.

Тогда $S_{бок, усеч} = S_{бок, ориг} - S_{бок, мал} = S_{бок, ориг} - \frac{9}{16} S_{бок, ориг} = \left(1 - \frac{9}{16}\right) S_{бок, ориг} = \frac{7}{16} S_{бок, ориг}$.

$S_{бок, усеч} = \frac{7}{16} \cdot 672 = 7 \cdot \frac{672}{16} = 7 \cdot 42 = 294 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет $294 \text{ см}^2$.