Номер 120, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

120. Существует ли трехгранный угол, имеющий следующие плоские углы:

а) $130^\circ$, $85^\circ$, $36^\circ$;

б) $100^\circ$, $70^\circ$, $40^\circ$;

в) $160^\circ$, $130^\circ$, $80^\circ$;

г) $82^\circ$, $56^\circ$, $26^\circ$;

д) $150^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$?

Трехгранный угол существует, если его плоские углы $\alpha, \beta, \gamma$ удовлетворяют следующим условиям:

1. Каждый плоский угол должен быть больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$: $0^\circ < \alpha, \beta, \gamma < 180^\circ$.

2. Сумма любых двух плоских углов должна быть строго больше третьего угла (неравенство треугольника):

   $\alpha + \beta > \gamma$

   $\alpha + \gamma > \beta$

   $\beta + \gamma > \alpha$

3. Сумма всех трех плоских углов должна быть строго меньше $360^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ$.

Применим эти условия к каждому случаю.

а) 130°, 85°, 36°

Решение

Проверим условия для углов $130^\circ, 85^\circ, 36^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($130^\circ < 180^\circ$, $85^\circ < 180^\circ$, $36^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $130^\circ + 85^\circ = 215^\circ > 36^\circ$ (Верно)

   $130^\circ + 36^\circ = 166^\circ > 85^\circ$ (Верно)

   $85^\circ + 36^\circ = 121^\circ \ngtr 130^\circ$ (Неверно, так как $121^\circ < 130^\circ$).

Так как одно из условий неравенства треугольника не выполняется, трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.

б) 100°, 70°, 40°

Решение

Проверим условия для углов $100^\circ, 70^\circ, 40^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($100^\circ < 180^\circ$, $70^\circ < 180^\circ$, $40^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $100^\circ + 70^\circ = 170^\circ > 40^\circ$ (Верно)

   $100^\circ + 40^\circ = 140^\circ > 70^\circ$ (Верно)

   $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ > 100^\circ$ (Верно)

   Все неравенства выполняются.

3. Проверим сумму углов:

   $100^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 210^\circ < 360^\circ$ (Верно).

Все условия выполняются, следовательно, трехгранный угол с такими плоскими углами существует.

Ответ: Да.

в) 160°, 130°, 80°

Решение

Проверим условия для углов $160^\circ, 130^\circ, 80^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($160^\circ < 180^\circ$, $130^\circ < 180^\circ$, $80^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $160^\circ + 130^\circ = 290^\circ > 80^\circ$ (Верно)

   $160^\circ + 80^\circ = 240^\circ > 130^\circ$ (Верно)

   $130^\circ + 80^\circ = 210^\circ > 160^\circ$ (Верно)

   Все неравенства выполняются.

3. Проверим сумму углов:

   $160^\circ + 130^\circ + 80^\circ = 370^\circ \not< 360^\circ$ (Неверно, так как $370^\circ > 360^\circ$).

Так как сумма углов не удовлетворяет условию ($< 360^\circ$), трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.

г) 82°, 56°, 26°

Решение

Проверим условия для углов $82^\circ, 56^\circ, 26^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($82^\circ < 180^\circ$, $56^\circ < 180^\circ$, $26^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $82^\circ + 56^\circ = 138^\circ > 26^\circ$ (Верно)

   $82^\circ + 26^\circ = 108^\circ > 56^\circ$ (Верно)

   $56^\circ + 26^\circ = 82^\circ \ngtr 82^\circ$ (Неверно, так как $82^\circ$ не строго больше $82^\circ$).

Так как одно из условий неравенства треугольника не выполняется, трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.

д) 150°, 120°, 90°

Решение

Проверим условия для углов $150^\circ, 120^\circ, 90^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($150^\circ < 180^\circ$, $120^\circ < 180^\circ$, $90^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $150^\circ + 120^\circ = 270^\circ > 90^\circ$ (Верно)

   $150^\circ + 90^\circ = 240^\circ > 120^\circ$ (Верно)

   $120^\circ + 90^\circ = 210^\circ > 150^\circ$ (Верно)

   Все неравенства выполняются.

3. Проверим сумму углов:

   $150^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ \not< 360^\circ$ (Неверно, так как $360^\circ$ не строго меньше $360^\circ$).

Так как сумма углов не удовлетворяет условию ($< 360^\circ$), трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.