Номер 125, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

5. Многогранный угол и его свойства. I. Многогранники - номер 125, страница 52.

Условие.

125. Дан трехгранный угол $PABC$, в котором плоские углы $APB$ и $APC$ равны. Используя рисунок 78, докажите, что и двугранные углы при ребрах $PB$ и $PC$ равны.

Рисунок 78

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано: трехгранный угол $PABC$, плоские углы $\angle APB = \angle APC$.

Найти: Доказать, что двугранные углы при ребрах $PB$ и $PC$ равны.

Решение:

Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $PBC$. (Точка $H$ является ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $PBC$).

Из точки $H$ проведем перпендикуляры $HK$ к ребру $PB$ и $HL$ к ребру $PC$. Точки $K$ и $L$ лежат на ребрах $PB$ и $PC$ соответственно.

По теореме о трех перпендикулярах:
1. Так как $AH \perp (PBC)$ и $HK \perp PB$, то $AK \perp PB$.
2. Так как $AH \perp (PBC)$ и $HL \perp PC$, то $AL \perp PC$.

Двугранный угол при ребре $PB$ измеряется углом между прямыми, лежащими в гранях и перпендикулярными ребру в одной точке. В нашем случае, это угол $\angle AKH$, так как $AK \perp PB$ и $HK \perp PB$ (они образуют плоскость, перпендикулярную $PB$).

Аналогично, двугранный угол при ребре $PC$ измеряется углом $\angle ALH$, так как $AL \perp PC$ и $HL \perp PC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AK P$ (прямой угол $\angle AK P = 90^\circ$) и $\triangle ALP$ (прямой угол $\angle ALP = 90^\circ$). Оба треугольника имеют общую гипотенузу $AP$. В $\triangle AK P$: $AK = AP \sin(\angle APB)$. В $\triangle ALP$: $AL = AP \sin(\angle APC)$. По условию задачи, плоские углы равны: $\angle APB = \angle APC$. Следовательно, $AP \sin(\angle APB) = AP \sin(\angle APC)$, что означает $AK = AL$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AKH$ и $\triangle ALH$. Так как $AH \perp (PBC)$ и $HK$ лежит в плоскости $PBC$, то $AH \perp HK$. Следовательно, $\triangle AKH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H$ ($ \angle AHK = 90^\circ $). Аналогично, так как $AH \perp (PBC)$ и $HL$ лежит в плоскости $PBC$, то $AH \perp HL$. Следовательно, $\triangle ALH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H$ ($ \angle AHL = 90^\circ $). Эти два прямоугольных треугольника имеют общую сторону $AH$ (катет) и равные гипотенузы $AK = AL$ (доказано выше). По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе ($\triangle AKH$ по катету $AH$ и гипотенузе $AK$; $\triangle ALH$ по катету $AH$ и гипотенузе $AL$), треугольники $\triangle AKH$ и $\triangle ALH$ равны.

Из равенства треугольников $\triangle AKH$ и $\triangle ALH$ следует равенство соответствующих углов: $\angle AKH = \angle ALH$.

Следовательно, двугранные углы при ребрах $PB$ и $PC$ равны.

Ответ: Доказано.