Номер 127, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

127. Каждый плоский угол четырехгранного угла $PABCD$ равен $60^{\circ}$. Найдите угол $APC$, если углы $APC$ и $BPD$ равны.

Дано:
Четырехгранный угол $PABCD$.
Каждый плоский угол равен $60^\circ$: $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = 60^\circ$.
Углы $\angle APC$ и $\angle BPD$ равны: $\angle APC = \angle BPD$.

Найти:
Угол $\angle APC$.

Решение:
1. Поскольку каждый плоский угол четырехгранного угла $PABCD$ равен $60^\circ$, это означает, что все треугольники, образованные вершиной $P$ и сторонами основания $ABCD$, а именно $\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPD$, $\triangle DPA$, являются равнобедренными с вершиной $P$. Таким образом, длины боковых ребер равны: $PA = PB = PC = PD$. Обозначим эту общую длину за $L$.

2. В каждом из этих равнобедренных треугольников угол при вершине $P$ равен $60^\circ$. Это значит, что эти треугольники являются равносторонними. Следовательно, длины сторон основания равны длине ребер: $AB = PA = PB = L$, $BC = PB = PC = L$, $CD = PC = PD = L$, $DA = PD = PA = L$.

3. Из пункта 2 следует, что четырехугольник $ABCD$ является ромбом, поскольку все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA = L$).

4. Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle BPD$. Для $\triangle APC$: $PA = L$ и $PC = L$. Для $\triangle BPD$: $PB = L$ и $PD = L$.

5. Нам дано, что $\angle APC = \angle BPD$. Поскольку $PA = PC = L$ и $PB = PD = L$, а также углы между равными сторонами в этих треугольниках равны ($\angle APC = \angle BPD$), то по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольники $\triangle APC$ и $\triangle BPD$ равны. Из этого следует, что их третьи стороны (диагонали основания) также равны: $AC = BD$.

6. Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является квадратом со стороной $L$.

7. Найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. В квадрате, по теореме Пифагора, диагональ равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2}$.

8. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle APC$ для нахождения угла $\angle APC$: $AC^2 = PA^2 + PC^2 - 2 \cdot PA \cdot PC \cdot \cos(\angle APC)$
Подставим известные значения: $AC = L\sqrt{2}$, $PA = L$, $PC = L$.
$(L\sqrt{2})^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\angle APC)$
$2L^2 = 2L^2 - 2L^2 \cos(\angle APC)$

Перенесем $2L^2$ из правой части уравнения в левую:
$2L^2 - 2L^2 = -2L^2 \cos(\angle APC)$
$0 = -2L^2 \cos(\angle APC)$

Так как $L \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $-2L^2$:
$\cos(\angle APC) = 0$

Угол, косинус которого равен $0$, составляет $90^\circ$.
Следовательно, $\angle APC = 90^\circ$.

Ответ:
$\angle APC = 90^\circ$.