Номер 134, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

134. Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Найдите угол между ее боковыми ребрами $SD$ и $SC$, если:

а) $\angle ASC = 2\alpha$;

б) $\angle((DSC), (BSC)) = 2\beta$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Найти:

Угол между боковыми ребрами $SD$ и $SC$ ($ \angle DSC $).

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде все боковые ребра равны: $SA = SB = SC = SD = l$.

Основание $ABCD$ является квадратом.

а) $\angle ASC = 2\alpha$;

Пусть искомый угол $ \angle DSC = \phi $. В правильной пирамиде все боковые грани являются конгруэнтными равнобедренными треугольниками. Это означает, что углы при вершине $S$, образованные смежными боковыми ребрами, равны: $ \angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle DSA = \phi $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle ASC $. Он равнобедренный ($ SA = SC = l $), и угол при вершине равен $ \angle ASC = 2\alpha $.

Применим теорему косинусов к $ \triangle ASC $:

$ AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC) $

$ AC^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos(2\alpha) = 2l^2(1 - \cos(2\alpha)) $

Используем тригонометрическое тождество $ 1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha) $:

$ AC^2 = 2l^2(2\sin^2(\alpha)) = 4l^2\sin^2(\alpha) $

Поскольку длина стороны положительна, $ AC = \sqrt{4l^2\sin^2(\alpha)} = 2l|\sin(\alpha)| $. В контексте углов треугольника $\alpha$ обычно подразумевается острым углом, поэтому $ \sin(\alpha) > 0 $, и $ AC = 2l\sin(\alpha) $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle DSC $. Он также равнобедренный ($ SD = SC = l $). Сторона $DC$ является стороной квадрата основания. Пусть длина стороны квадрата равна $a$. То есть $DC = a$.

Применим теорему косинусов к $ \triangle DSC $ для нахождения угла $\phi = \angle DSC $:

$ DC^2 = SD^2 + SC^2 - 2 \cdot SD \cdot SC \cdot \cos(\angle DSC) $

$ a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos(\phi) = 2l^2(1 - \cos(\phi)) $

В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ связана со стороной $a$ соотношением $ AC = a\sqrt{2} $.

Подставим выражение для $AC$ из $ \triangle ASC $ в это соотношение:

$ a\sqrt{2} = 2l\sin(\alpha) $

$ a = \frac{2l\sin(\alpha)}{\sqrt{2}} = l\sqrt{2}\sin(\alpha) $

Теперь подставим это выражение для $a$ в уравнение для $a^2$ из $ \triangle DSC $:

$ (l\sqrt{2}\sin(\alpha))^2 = 2l^2(1 - \cos(\phi)) $

$ 2l^2\sin^2(\alpha) = 2l^2(1 - \cos(\phi)) $

Разделим обе части уравнения на $2l^2$ (поскольку $l \ne 0$):

$ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos(\phi) $

Выразим $ \cos(\phi) $:

$ \cos(\phi) = 1 - \sin^2(\alpha) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) $:

$ \cos(\phi) = \cos^2(\alpha) $

Следовательно, $ \phi = \arccos(\cos^2(\alpha)) $.

Ответ: $ \angle DSC = \arccos(\cos^2(\alpha)) $

б) $\angle ((DSC), (BSC)) = 2\beta$;

Угол $2\beta$ - это двугранный угол между боковыми гранями $DSC$ и $BSC$. Линия пересечения этих граней - общее боковое ребро $SC$.

Для определения двугранного угла проведем перпендикуляры к ребру $SC$ в каждой из граней. Поскольку $ \triangle DSC $ и $ \triangle BSC $ являются конгруэнтными равнобедренными треугольниками (боковые грани правильной пирамиды), высоты, опущенные из вершин $D$ и $B$ на общую сторону $SC$, будут равны. Пусть $K$ - точка на $SC$ такая, что $DK \perp SC$ и $BK \perp SC$. Тогда $DK = BK = h'$, где $h'$ - высота боковой грани, проведенная к боковому ребру.

Угол между гранями $DSC$ и $BSC$ равен углу между этими перпендикулярами, то есть $ \angle DKB = 2\beta $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle DKB $. Он равнобедренный, так как $DK = BK = h'$. Сторона $DB$ является диагональю основания квадрата $ABCD$. Длина диагонали $DB = a\sqrt{2}$, где $a$ - длина стороны квадрата.

Применим теорему косинусов к $ \triangle DKB $:

$ DB^2 = DK^2 + BK^2 - 2 \cdot DK \cdot BK \cdot \cos(\angle DKB) $

$ (a\sqrt{2})^2 = h'^2 + h'^2 - 2h'^2 \cos(2\beta) $

$ 2a^2 = 2h'^2(1 - \cos(2\beta)) $

$ a^2 = h'^2(1 - \cos(2\beta)) $

Теперь найдем $h'$. $h'$ - это высота $DK$ в $ \triangle DSC $, проведенная к стороне $SC$. Мы знаем, что $ \angle DSC = \phi $.

Площадь $ \triangle DSC $ может быть выражена двумя способами: 1. Через основание $SC$ и высоту $DK$: $ S_{DSC} = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot DK = \frac{1}{2} l \cdot h' $. 2. Через две стороны $SD, SC$ и угол между ними $ \angle DSC $: $ S_{DSC} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot SC \cdot \sin(\angle DSC) = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \sin(\phi) = \frac{1}{2} l^2 \sin(\phi) $.

Приравнивая эти выражения для площади:

$ \frac{1}{2} l \cdot h' = \frac{1}{2} l^2 \sin(\phi) $

Разделим обе части на $ \frac{1}{2} l $ (поскольку $l \ne 0$):

$ h' = l \sin(\phi) $

Подставим это выражение для $h'$ в уравнение для $a^2$:

$ a^2 = (l\sin(\phi))^2 (1 - \cos(2\beta)) = l^2\sin^2(\phi)(1 - \cos(2\beta)) $

Из пункта а) мы получили выражение для $a^2$: $ a^2 = 2l^2(1 - \cos(\phi)) $. Приравняем два выражения для $a^2$:

$ 2l^2(1 - \cos(\phi)) = l^2\sin^2(\phi)(1 - \cos(2\beta)) $

Разделим обе части на $l^2$ (поскольку $l \ne 0$):

$ 2(1 - \cos(\phi)) = \sin^2(\phi)(1 - \cos(2\beta)) $

Используем тригонометрические тождества: $ \sin^2(\phi) = 1 - \cos^2(\phi) = (1 - \cos(\phi))(1 + \cos(\phi)) $ и $ 1 - \cos(2\beta) = 2\sin^2(\beta) $:

$ 2(1 - \cos(\phi)) = (1 - \cos(\phi))(1 + \cos(\phi))(2\sin^2(\beta)) $

Поскольку $ \phi $ - угол в треугольнике, $ \phi \ne 0 $, значит $ 1 - \cos(\phi) \ne 0 $. Разделим обе части на $ 2(1 - \cos(\phi)) $:

$ 1 = (1 + \cos(\phi))\sin^2(\beta) $

Предполагая, что $ \sin^2(\beta) \ne 0 $ (иначе двугранный угол был бы 0, что невозможно для боковых граней пирамиды), разделим обе части на $ \sin^2(\beta) $:

$ 1 + \cos(\phi) = \frac{1}{\sin^2(\beta)} $

Выразим $ \cos(\phi) $:

$ \cos(\phi) = \frac{1}{\sin^2(\beta)} - 1 $

$ \cos(\phi) = \frac{1 - \sin^2(\beta)}{\sin^2(\beta)} $

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2(\beta) = \cos^2(\beta) $:

$ \cos(\phi) = \frac{\cos^2(\beta)}{\sin^2(\beta)} $

По определению котангенса $ \cot(\beta) = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} $:

$ \cos(\phi) = \cot^2(\beta) $

Следовательно, $ \phi = \arccos(\cot^2(\beta)) $.

Ответ: $ \angle DSC = \arccos(\cot^2(\beta)) $