Номер 136, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

136. Изобразите многогранник, составленный из двух равных правильных тетраэдров. Объясните, почему он не является правильным многогранником.

Решение

Изобразите многогранник, составленный из двух равных правильных тетраэдров.

Многогранник, составленный из двух равных правильных тетраэдров, соединенных одной гранью (их общим основанием), называется треугольной бипирамидой. Он имеет 6 граней (все грани являются равносторонними треугольниками), 9 ребер и 5 вершин. Две из этих вершин являются вершинами-апексами (бывшие вершины тетраэдров, не принадлежавшие общей грани), а три другие вершины образуют "экватор" (вершины общей грани).

Ответ:

Объясните, почему он не является правильным многогранником.

Правильный многогранник (платоново тело) должен удовлетворять двум условиям:
1. Все его грани являются конгруэнтными правильными многоугольниками.
2. В каждой вершине сходится одинаковое количество граней (или одинаковое количество ребер).

Для многогранника, образованного двумя правильными тетраэдрами (треугольной бипирамиды), первое условие выполняется: все 6 его граней являются равносторонними треугольниками. Однако второе условие не выполняется:
• В двух вершинах-апексах (верхней и нижней) сходится по 3 грани.
• В трех вершинах, образующих "экватор" (которые были вершинами общей грани), сходится по 4 грани.

Поскольку количество граней, сходящихся в каждой вершине, не является одинаковым (3 грани в одних вершинах и 4 грани в других), этот многогранник не является правильным. Кроме того, неравны и его двугранные углы: углы при ребрах, исходящих из апексов, равны двугранным углам правильного тетраэдра ($ \arccos(1/3) $), а углы при ребрах "экватора" отличаются.

Ответ: