Номер 143, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 88

143. Дан правильный многогранник, ребро которого равно 6 см. Найдите расстояние между центрами двух его соседних граней, если этот многогранник:

а) тетраэдр;

б) октаэдр.

Дано:

Дан правильный многогранник. Длина ребра $a = 6$ см.

Перевод в СИ: $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние между центрами двух его соседних граней.

Решение:

Грани как тетраэдра, так и октаэдра являются правильными треугольниками. Центр правильного треугольника (равностороннего) совпадает с его центроидом. Расстояние от центроида равностороннего треугольника до середины любой его стороны равно одной трети высоты этого треугольника.

Высота $h_{грани}$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h_{грани} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние от центра грани до середины общего ребра соседних граней (обозначим его $d_M$) равно: $d_M = \frac{1}{3} h_{грани} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Пусть $P_1$ и $P_2$ - центры двух соседних граней, $M$ - середина их общего ребра. Треугольник $P_1 M P_2$ является равнобедренным с $P_1 M = P_2 M = d_M$. Угол $\angle P_1 M P_2$ равен двугранному углу $\theta$ между этими гранями. Расстояние между центрами граней $P_1 P_2$ можно найти по теореме косинусов: $P_1 P_2^2 = P_1 M^2 + P_2 M^2 - 2 P_1 M \cdot P_2 M \cos \theta$ $P_1 P_2^2 = 2 d_M^2 (1 - \cos \theta)$.

а) тетраэдр

Для правильного тетраэдра двугранный угол $\theta_{тет}$ имеет косинус: $\cos \theta_{тет} = \frac{1}{3}$.

Подставляем значения $d_M = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и $\cos \theta_{тет} = \frac{1}{3}$ в формулу для $P_1 P_2^2$: $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{3a^2}{36}\right) \left(\frac{2}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a^2}{12}\right) \left(\frac{2}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = \frac{4a^2}{36} = \frac{a^2}{9}$.

Следовательно, расстояние $P_1 P_2 = \sqrt{\frac{a^2}{9}} = \frac{a}{3}$.

Подставляем значение $a = 6$ см: $P_1 P_2 = \frac{6 \text{ см}}{3} = 2 \text{ см}$.

Ответ: $2$ см

б) октаэдр

Для правильного октаэдра двугранный угол $\theta_{окт}$ имеет косинус: $\cos \theta_{окт} = -\frac{1}{3}$.

Подставляем значения $d_M = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и $\cos \theta_{окт} = -\frac{1}{3}$ в формулу для $P_1 P_2^2$: $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{3a^2}{36}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = 2 \left(\frac{a^2}{12}\right) \left(\frac{4}{3}\right)$ $P_1 P_2^2 = \frac{8a^2}{36} = \frac{2a^2}{9}$.

Следовательно, расстояние $P_1 P_2 = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Подставляем значение $a = 6$ см: $P_1 P_2 = \frac{6\sqrt{2} \text{ см}}{3} = 2\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см