Номер 148, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

148. Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра $PABC$, если расстояние между его ребрами $AP$ и $BC$ равно 1 м.

Дано:

Правильный тетраэдр $PABC$.

Расстояние между ребрами $AP$ и $BC$ равно $d = 1 \text{ м}$.

Перевод в СИ:

Расстояние $d = 1 \text{ м}$ (уже в системе СИ).

Найти:

Площадь полной поверхности правильного тетраэдра $S_{\text{полн}}$.

Решение:

Пусть $a$ – длина ребра правильного тетраэдра.

Правильный тетраэдр состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S_{\text{грани}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{\text{полн}} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Найдем зависимость между длиной ребра $a$ и расстоянием $d$ между скрещивающимися ребрами $AP$ и $BC$. В правильном тетраэдре расстояние между любыми двумя скрещивающимися ребрами одинаково.

Рассмотрим ребра $AP$ и $BC$. Пусть $M$ – середина ребра $BC$.

Так как треугольники $ABC$ и $PBC$ являются равносторонними, то медианы $AM$ и $PM$ также являются высотами, то есть $AM \perp BC$ и $PM \perp BC$.

Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости, содержащей точки $A$, $P$ и $M$ (плоскости $APM$).

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми $AP$ и $BC$ – это длина их общего перпендикуляра. Поскольку $BC \perp \text{плоскости } APM$, то любой отрезок, лежащий в плоскости $APM$ и перпендикулярный $AP$, будет перпендикулярен и $BC$. Таким образом, общий перпендикуляр между $AP$ и $BC$ – это высота $MH$, опущенная из вершины $M$ на ребро $AP$ в треугольнике $APM$.

В треугольнике $APM$:

Длина $AP = a$ (ребро тетраэдра).

Длины $AM = PM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота равностороннего треугольника со стороной $a$).

Треугольник $APM$ – равнобедренный с основанием $AP$ (для высоты из $M$).

Найдем косинус угла $\angle PAM$ в $\triangle APM$ по теореме косинусов:

$PM^2 = AP^2 + AM^2 - 2 \cdot AP \cdot AM \cdot \cos(\angle PAM)$

$\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle PAM)$

$\frac{3a^2}{4} = a^2 + \frac{3a^2}{4} - a^2\sqrt{3} \cos(\angle PAM)$

$0 = a^2 - a^2\sqrt{3} \cos(\angle PAM)$

$a^2\sqrt{3} \cos(\angle PAM) = a^2$

$\cos(\angle PAM) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем синус этого угла:

$\sin^2(\angle PAM) = 1 - \cos^2(\angle PAM) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin(\angle PAM) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Высота $MH$ в прямоугольном треугольнике, образованном $A$, $H$ и $M$ (где $H$ – основание перпендикуляра из $M$ на $AP$), равна $d = AM \cdot \sin(\angle PAM)$.

$d = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{18}}{6} = \frac{a \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра равно $d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По условию задачи $d = 1 \text{ м}$.

$1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ м}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности тетраэдра:

$S_{\text{полн}} = a^2\sqrt{3} = (\sqrt{2})^2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ м}^2$.