Номер 152, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

152. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку пересечения его диагоналей и перпендикулярной одной из них. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Дано:

Куб с ребром $a$.

Найти:

Площадь сечения, проходящего через точку пересечения диагоналей куба и перпендикулярного одной из них.

Решение:

Представим куб в декартовой системе координат с вершинами в точках $(x,y,z)$, где $x, y, z \in \{0, a\}$. Без потери общности, пусть одна из вершин куба находится в начале координат $(0,0,0)$, а противоположная ей вершина - в точке $(a,a,a)$.

Точка пересечения диагоналей куба, то есть его центр, имеет координаты $O = (a/2, a/2, a/2)$.

Возьмем одну из главных диагоналей, например, диагональ, соединяющую вершины $(0,0,0)$ и $(a,a,a)$. Вектор, направленный вдоль этой диагонали, имеет координаты $(a,a,a)$.

Плоскость, перпендикулярная этому вектору, имеет уравнение вида $Ax+By+Cz=D$. Поскольку вектор нормали к плоскости параллелен $(a,a,a)$, мы можем взять его как $(1,1,1)$. Тогда уравнение плоскости: $x+y+z=D$. Так как плоскость проходит через центр куба $(a/2, a/2, a/2)$, подставим эти координаты в уравнение:

$a/2 + a/2 + a/2 = D$

$D = 3a/2$

Таким образом, уравнение секущей плоскости: $x+y+z = 3a/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Ребра куба - это отрезки, соединяющие вершины. Плоскость $x+y+z = 3a/2$ будет пересекать те ребра, для которых сумма координат одной вершины меньше $3a/2$, а другой - больше $3a/2$. Этими ребрами являются те, что не примыкают к вершинам $(0,0,0)$ и $(a,a,a)$.

1. Ребра, исходящие из вершины $(a,0,0)$:

• Вдоль оси $y$ (ребро от $(a,0,0)$ до $(a,a,0)$): $x=a, z=0$. Уравнение плоскости: $a+y+0 = 3a/2 \Rightarrow y = a/2$. Точка пересечения: $P_1(a, a/2, 0)$. Это середина ребра.
• Вдоль оси $z$ (ребро от $(a,0,0)$ до $(a,0,a)$): $x=a, y=0$. Уравнение плоскости: $a+0+z = 3a/2 \Rightarrow z = a/2$. Точка пересечения: $P_2(a, 0, a/2)$. Это середина ребра.

2. Ребра, исходящие из вершины $(0,a,0)$:

• Вдоль оси $x$ (ребро от $(0,a,0)$ до $(a,a,0)$): $y=a, z=0$. Уравнение плоскости: $x+a+0 = 3a/2 \Rightarrow x = a/2$. Точка пересечения: $P_3(a/2, a, 0)$. Это середина ребра.
• Вдоль оси $z$ (ребро от $(0,a,0)$ до $(0,a,a)$): $x=0, y=a$. Уравнение плоскости: $0+a+z = 3a/2 \Rightarrow z = a/2$. Точка пересечения: $P_4(0, a, a/2)$. Это середина ребра.

3. Ребра, исходящие из вершины $(0,0,a)$:

• Вдоль оси $x$ (ребро от $(0,0,a)$ до $(a,0,a)$): $y=0, z=a$. Уравнение плоскости: $x+0+a = 3a/2 \Rightarrow x = a/2$. Точка пересечения: $P_5(a/2, 0, a)$. Это середина ребра.
• Вдоль оси $y$ (ребро от $(0,0,a)$ до $(0,a,a)$): $x=0, z=a$. Уравнение плоскости: $0+y+a = 3a/2 \Rightarrow y = a/2$. Точка пересечения: $P_6(0, a/2, a)$. Это середина ребра.

Таким образом, сечение куба плоскостью представляет собой шестиугольник с вершинами в точках $P_1(a, a/2, 0)$, $P_2(a, 0, a/2)$, $P_3(a/2, a, 0)$, $P_4(0, a, a/2)$, $P_5(a/2, 0, a)$, $P_6(0, a/2, a)$. Все эти точки являются серединами ребер куба.

Поскольку плоскость перпендикулярна главной диагонали куба и проходит через его центр, полученное сечение является правильным шестиугольником.

Найдем длину стороны $s$ этого шестиугольника, например, расстояние между $P_1(a, a/2, 0)$ и $P_2(a, 0, a/2)$:$s = \sqrt{(a-a)^2 + (a/2-0)^2 + (0-a/2)^2} = \sqrt{0^2 + (a/2)^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{2a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $A = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

Подставим найденное значение $s$:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a^2}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.