Номер 157, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

6. Правильные многогранники. I. Многогранники - номер 157, страница 61.

Условие.

157. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ ребер $AD$ и $CC_1$ проведена плоскость. Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости $ABC$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$.

Через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ рёбер $AD$ и $CC_1$ соответственно проведена плоскость $BMN$.

Найти:

Угол наклона плоскости $BMN$ к плоскости $ABC$.

Решение

Для решения задачи введём систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0)$

$C=(a,a,0)$

$D=(0,a,0)$

$A_1=(0,0,a)$

$B_1=(a,0,a)$

$C_1=(a,a,a)$

$D_1=(0,a,a)$

Найдём координаты середин рёбер $M$ и $N$:

Точка $M$ - середина ребра $AD$. $A=(0,0,0)$, $D=(0,a,0)$.

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Точка $N$ - середина ребра $CC_1$. $C=(a,a,0)$, $C_1=(a,a,a)$.

$N = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Плоскость $ABC$ лежит в плоскости $Oxy$, её уравнение $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Для плоскости $BMN$ нам нужны векторы, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{BM}$ и $\vec{BN}$.

$\vec{BM} = M - B = \left(0-a, \frac{a}{2}-0, 0-0\right) = \left(-a, \frac{a}{2}, 0\right)$.

$\vec{BN} = N - B = \left(a-a, a-0, \frac{a}{2}-0\right) = \left(0, a, \frac{a}{2}\right)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{BMN}$ к плоскости $BMN$ можно найти как векторное произведение $\vec{BM} \times \vec{BN}$:

$\vec{n}_{BMN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & a/2 & 0 \\ 0 & a & a/2 \end{vmatrix}$

$\vec{n}_{BMN} = \mathbf{i}\left(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a\right) - \mathbf{j}\left(-a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0\right) + \mathbf{k}(-a \cdot a - \frac{a}{2} \cdot 0)$

$\vec{n}_{BMN} = \mathbf{i}\left(\frac{a^2}{4}\right) - \mathbf{j}\left(-\frac{a^2}{2}\right) + \mathbf{k}(-a^2)$

$\vec{n}_{BMN} = \left(\frac{a^2}{4}, \frac{a^2}{2}, -a^2\right)$.

Для удобства можем умножить этот вектор на $\frac{4}{a^2}$ (поскольку направление нормали не меняется от масштабирования):

$\vec{n}_{BMN} = (1, 2, -4)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_{BMN} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{||\vec{n}_{BMN}|| \cdot ||\vec{n}_{ABC}||}$

Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n}_{BMN} \cdot \vec{n}_{ABC} = (1)(0) + (2)(0) + (-4)(1) = -4$.

Вычислим длины нормальных векторов:

$||\vec{n}_{BMN}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.

$||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{4}{\sqrt{21}}$.

Следовательно, угол наклона плоскости:

$\theta = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)$.

Ответ:

Угол наклона плоскости $BMN$ к плоскости $ABC$ равен $\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)$.