Номер 163, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

163. Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2 дм, а одно из ее боковых ребер образует с соседними сторонами основания углы, равные по $60^\circ$ (рисунок 91). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Рисунок 91

Дано:

Наклонная треугольная призма.

Длина каждого ребра $a = 2$ дм.

Одно из боковых ребер (например, $AA_1$) образует с соседними сторонами основания ($AB$ и $AC$) углы, равные $60^\circ$, т.е. $\angle A_1AB = 60^\circ$ и $\angle A_1AC = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$.

Найти:

$S_{полн}$ (площадь полной поверхности призмы).

Решение:

Площадь полной поверхности призмы складывается из удвоенной площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$):

Так как каждое ребро призмы равно $a$, то стороны основания $AB$, $BC$, $CA$ также равны $a$. Следовательно, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $a$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 2$ дм:

$S_{осн} = \frac{(2 \text{ дм})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ дм}^2$.

2. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

Боковая поверхность наклонной призмы состоит из трех параллелограммов: $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $CC_1A_1A$. Длины всех боковых ребер $AA_1 = BB_1 = CC_1 = a = 2$ дм.

Рассмотрим площади каждой боковой грани:

а) Грань $AA_1B_1B$:

Это параллелограмм со сторонами $AA_1 = a$ и $AB = a$. Угол между этими сторонами $\angle A_1AB = 60^\circ$ (дано).

Площадь этой грани: $S_{AA_1B_1B} = AA_1 \cdot AB \cdot \sin(\angle A_1AB) = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $a = 2$ дм:

$S_{AA_1B_1B} = (2 \text{ дм})^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

б) Грань $AA_1C_1C$:

Это параллелограмм со сторонами $AA_1 = a$ и $AC = a$. Угол между этими сторонами $\angle A_1AC = 60^\circ$ (дано).

Площадь этой грани: $S_{AA_1C_1C} = AA_1 \cdot AC \cdot \sin(\angle A_1AC) = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $a = 2$ дм:

$S_{AA_1C_1C} = (2 \text{ дм})^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

в) Грань $BB_1C_1C$:

Это параллелограмм со сторонами $BB_1 = a$ и $BC = a$. Для нахождения площади этой грани необходимо найти угол между $BB_1$ и $BC$ (например, $\angle B_1BC$).

Так как ребро $AA_1$ образует углы $60^\circ$ с $AB$ и $AC$, а $AB=AC=AA_1=a$, то треугольники $A_1AB$ и $A_1AC$ являются равносторонними. Следовательно, $A_1B = a$ и $A_1C = a$.

Для определения угла $\angle B_1BC$ используем координатный метод. Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Так как основание $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной $a=2$ дм, координаты вершин можно задать как:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0) = (2,0,0)$

$C=(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0) = (2 \cdot 1/2, 2 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

Вектор основания $\vec{BC} = C - B = (1-2, \sqrt{3}-0, 0-0) = (-1, \sqrt{3}, 0)$.

Пусть координаты вершины $A_1=(x_1, y_1, z_1)$. Длина ребра $AA_1=a=2$, поэтому $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = a^2 = 4$.

Условие $\angle A_1AB = 60^\circ$ означает, что скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB}$ равно:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| |\vec{AB}| \cos 60^\circ$

Вектор $\vec{AB} = (2,0,0)$.

$(x_1, y_1, z_1) \cdot (2,0,0) = 2 \cdot 2 \cdot 1/2$

$2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.

Условие $\angle A_1AC = 60^\circ$ означает, что скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC}$ равно:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| |\vec{AC}| \cos 60^\circ$

Вектор $\vec{AC} = (1, \sqrt{3}, 0)$.

$(x_1, y_1, z_1) \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = 2 \cdot 2 \cdot 1/2$

$x_1 + \sqrt{3}y_1 = 2$.

Подставим $x_1=1$: $1 + \sqrt{3}y_1 = 2 \implies \sqrt{3}y_1 = 1 \implies y_1 = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3$.

Теперь найдем $z_1$ из уравнения $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = a^2=4$:

$1^2 + (\sqrt{3}/3)^2 + z_1^2 = 4$

$1 + 3/9 + z_1^2 = 4$

$1 + 1/3 + z_1^2 = 4$

$4/3 + z_1^2 = 4$

$z_1^2 = 4 - 4/3 = 8/3$

$z_1 = \sqrt{8/3} = 2\sqrt{2}/\sqrt{3} = 2\sqrt{6}/3$. (Выбираем положительное значение $z_1$, так как призма обычно располагается в положительном направлении оси Z).

Таким образом, вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = (1, \sqrt{3}/3, 2\sqrt{6}/3)$.

Так как $BB_1$ является боковым ребром призмы, вектор $\vec{BB_1}$ параллелен $\vec{AA_1}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{BB_1} = (1, \sqrt{3}/3, 2\sqrt{6}/3)$.

Найдем угол $\phi = \angle B_1BC$ между векторами $\vec{BB_1}$ и $\vec{BC}$ с помощью скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{\vec{BB_1} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BB_1}| |\vec{BC}|}$

$|\vec{BB_1}| = a = 2$

$|\vec{BC}| = a = 2$

$\vec{BB_1} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (\sqrt{3}/3)(\sqrt{3}) + (2\sqrt{6}/3)(0)$

$= -1 + 3/3 + 0 = -1 + 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно 0, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны. Следовательно, $\phi = 90^\circ$.

Грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником со сторонами $BC = a$ и $BB_1 = a$.

Площадь этой грани: $S_{BB_1C_1C} = a \cdot a = a^2$.

Подставим $a = 2$ дм:

$S_{BB_1C_1C} = (2 \text{ дм})^2 = 4 \text{ дм}^2$.

Общая площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) является суммой площадей всех трех боковых граней:

$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C}$

$S_{бок} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 2\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 4 \text{ дм}^2$

$S_{бок} = (4\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$.

3. Нахождение площади полной поверхности ($S_{полн}$):

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $S_{бок}$ в формулу для полной поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2(\sqrt{3}) \text{ дм}^2 + (4\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$

$S_{полн} = (2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$

$S_{полн} = (6\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы составляет $(6\sqrt{3} + 4) \text{ дм}^2$.