Номер 164, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

164. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, диагональное сечение которой равновелико основанию, если сторона основания равна $a$.

Дано
Правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания: $a$.
Площадь диагонального сечения равна площади основания: $S_{сеч} = S_{осн}$.

Перевод в систему СИ
Данные уже представлены в буквенном виде, не требующем перевода в численные единицы СИ.

Найти:
Площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок}$.

Решение
1. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a$.
Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = a^2$.

2. Диагональное сечение пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания пирамиды, а боковыми сторонами - боковые ребра пирамиды.
Длина диагонали основания $d_{осн}$ для квадрата со стороной $a$ равна: $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

3. Пусть $h$ - высота пирамиды. Тогда площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ вычисляется как площадь треугольника: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot h$.

4. По условию задачи, $S_{сеч} = S_{осн}$.
Приравниваем выражения для площадей:
$\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot h = a^2$
Выразим высоту $h$:
$h = \frac{2a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

5. Для нахождения площади боковой поверхности правильной пирамиды необходимо знать апофему (высоту боковой грани). Обозначим апофему как $l$.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.
Половина стороны основания равна $\frac{a}{2}$.
Применяем теорему Пифагора:
$l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
Подставляем найденное значение $h = a\sqrt{2}$:
$l^2 = (a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$l^2 = 2a^2 + \frac{a^2}{4}$
$l^2 = \frac{8a^2 + a^2}{4} = \frac{9a^2}{4}$
$l = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$.

6. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания.
Периметр основания $P_{осн}$ для квадрата со стороной $a$ равен: $P_{осн} = 4a$.
Подставляем значения $P_{осн}$ и $l$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4a) \cdot \left(\frac{3a}{2}\right)$
$S_{бок} = 2a \cdot \frac{3a}{2}$
$S_{бок} = 3a^2$.

Ответ: $3a^2$