Номер 159, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

159. Для правильного октаэдра $EABCD F$ докажите, что отрезок, соединяющий центры граней $BCE$ и $ADF$, перпендикулярен плоскостям этих граней и найдите расстояние между ними.

Дано

Правильный октаэдр $EABCD F$.

Грани $BCE$ и $ADF$.

Найти

1. Доказать, что отрезок, соединяющий центры граней $BCE$ и $ADF$, перпендикулярен плоскостям этих граней.

2. Найти расстояние между плоскостями граней $BCE$ и $ADF$.

Система СИ

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как это геометрическая задача без конкретных числовых значений длин. Длины будут выражены относительно длины ребра октаэдра.

Решение

Введем декартову систему координат с началом в центре октаэдра. Вершины правильного октаэдра с ребром длиной $l$ можно расположить следующим образом:

$A=(a,0,0)$, $B=(0,a,0)$, $C=(-a,0,0)$, $D=(0,-a,0)$, $E=(0,0,a)$, $F=(0,0,-a)$, где $l$ - длина ребра октаэдра. Длина ребра октаэдра $l$ связана с $a$ соотношением $l^2 = (a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-0)^2 = 2a^2$, следовательно, $l = a\sqrt{2}$. Отсюда $a = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

Доказательство того, что отрезок, соединяющий центры граней BCE и ADF, перпендикулярен плоскостям этих граней

Пусть $M_1$ - центр грани $BCE$, а $M_2$ - центр грани $ADF$. Поскольку грани октаэдра являются правильными треугольниками, их центры совпадают с центроидами. Координаты центроида треугольника находятся как среднее арифметическое координат его вершин.

Координаты вершин грани $BCE$: $B(0, a, 0)$, $C(-a, 0, 0)$, $E(0, 0, a)$.

Координаты центра $M_1$: $M_1 = \left( \frac{0 + (-a) + 0}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3} \right) = \left( -\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)$.

Координаты вершин грани $ADF$: $A(a, 0, 0)$, $D(0, -a, 0)$, $F(0, 0, -a)$.

Координаты центра $M_2$: $M_2 = \left( \frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + (-a) + 0}{3}, \frac{0 + 0 + (-a)}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3} \right)$.

Отрезок, соединяющий центры граней, - это $M_1M_2$. Вектор $\vec{M_1M_2}$ равен:

$\vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = \left( \frac{a}{3} - (-\frac{a}{3}), -\frac{a}{3} - \frac{a}{3}, -\frac{a}{3} - \frac{a}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3} \right)$.

Этот вектор пропорционален вектору $(1, -1, -1)$.

Найдем вектор нормали к плоскости грани $BCE$. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CE}$.

$\vec{CB} = (0 - (-a), a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$.

$\vec{CE} = (0 - (-a), 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$.

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $BCE$ находится как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE}$:

$\vec{n_1} = (a \cdot a - 0 \cdot 0, -(a \cdot a - 0 \cdot a), a \cdot 0 - a \cdot a) = (a^2, -a^2, -a^2)$.

Этот вектор $\vec{n_1}$ пропорционален вектору $(1, -1, -1)$.

Так как вектор $\vec{M_1M_2}$ параллелен вектору нормали $\vec{n_1}$ к плоскости грани $BCE$, то отрезок $M_1M_2$ перпендикулярен плоскости грани $BCE$.

Аналогично, найдем вектор нормали к плоскости грани $ADF$. Возьмем векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DF}$.

$\vec{DA} = (a - 0, 0 - (-a), 0 - 0) = (a, a, 0)$.

$\vec{DF} = (0 - 0, 0 - (-a), -a - 0) = (0, a, -a)$.

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $ADF$ находится как векторное произведение $\vec{DA} \times \vec{DF}$:

$\vec{n_2} = (a \cdot (-a) - 0 \cdot a, -(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0), a \cdot a - 0 \cdot a) = (-a^2, a^2, a^2)$.

Этот вектор $\vec{n_2}$ пропорционален вектору $(-1, 1, 1)$, который также пропорционален вектору $(1, -1, -1)$ (с противоположным знаком).

Таким образом, отрезок $M_1M_2$ также перпендикулярен плоскости грани $ADF$.

Нахождение расстояния между плоскостями этих граней

Расстояние между плоскостями граней $BCE$ и $ADF$ равно длине отрезка $M_1M_2$.

$|M_1M_2| = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}} = \sqrt{\frac{12a^2}{9}} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Выразим это расстояние через длину ребра октаэдра $l$. Известно, что $a = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

Подставим $a$ в формулу для расстояния:

$d = \frac{2 \left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)\sqrt{3}}{3} = \frac{2l\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2l\sqrt{3}\sqrt{2}}{3\cdot 2} = \frac{2l\sqrt{6}}{6} = \frac{l\sqrt{6}}{3}$.

Ответ

Доказательство того, что отрезок, соединяющий центры граней BCE и ADF, перпендикулярен плоскостям этих граней

Отрезок, соединяющий центры граней $BCE$ и $ADF$, перпендикулярен плоскостям этих граней. Это доказывается тем, что вектор, соединяющий центры граней, параллелен нормальным векторам к плоскостям этих граней.

Ответ:

Нахождение расстояния между плоскостями этих граней

Расстояние между плоскостями граней $BCE$ и $ADF$ составляет $d = \frac{l\sqrt{6}}{3}$, где $l$ - длина ребра правильного октаэдра.

Ответ: $\frac{l\sqrt{6}}{3}$.