Номер 154, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

154. От правильного октаэдра $PABCD$, ребро которого равно 8 см, отрезали две равные правильные пирамиды с вершинами $P$ и $F$, боковые ребра которых равны 4 см. Найдите площадь полной поверхности получившегося многогранника.

Дано:

Правильный октаэдр $PABCDEF$.

Ребро октаэдра $a_O = 8$ см.

Отрезаны две равные правильные пирамиды с вершинами $P$ и $F$.

Боковые ребра отрезаемых пирамид $a_P = 4$ см.

Перевод в СИ:

$a_O = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}.$

$a_P = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}.$

Найти:

Площадь полной поверхности получившегося многогранника $S_{new}$.

Решение:

Правильный октаэдр состоит из 8 одинаковых равносторонних треугольников. Каждый такой треугольник имеет сторону, равную ребру октаэдра $a_O$.

Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

Площадь поверхности исходного октаэдра $S_{octahedron}$:

$S_{octahedron} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a_O^2 = 2\sqrt{3} a_O^2$.

Подставим значение $a_O = 8$ см:

$S_{octahedron} = 2\sqrt{3} (8 \text{ см})^2 = 2\sqrt{3} \cdot 64 \text{ см}^2 = 128\sqrt{3} \text{ см}^2$.

При отрезании двух правильных пирамид с вершинами $P$ и $F$, каждая из которых имеет боковые ребра длиной $a_P = 4$ см, происходит следующее: из восьми граней октаэдра (равносторонних треугольников со стороной 8 см) отсекаются части, и на их месте образуются новые плоские грани.

Рассмотрим одну из отрезаемых пирамид, например, с вершиной $P$. Ее боковые ребра длиной 4 см отсекают на исходных ребрах октаэдра (идущих из $P$ к $A, B, C, D$) отрезки длиной 4 см. Так как исходные грани октаэдра (например, $PAB$) являются равносторонними треугольниками, угол при вершине $P$ (например, $\angle APB$) равен $60^\circ$. Следовательно, треугольники, образованные боковыми ребрами отсеченной пирамиды и ее основанием (например, $PA'B'$, где $A'$ и $B'$ - точки на $PA$ и $PB$ на расстоянии 4 см от $P$), также являются равносторонними треугольниками со стороной $4$ см.

Таким образом, отсекаемая пирамида с вершиной $P$ имеет 4 боковые грани, каждая из которых является равносторонним треугольником со стороной $a_P = 4$ см. Площадь одного такого маленького равностороннего треугольника:

$S_{small\_triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 \text{ см}^2 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Когда пирамида отрезается, эти 4 треугольника (например, $PA'B'$, $PB'C'$, $PC'D'$, $PD'A'$) удаляются из поверхности исходного октаэдра.

Поскольку отрезаются две такие пирамиды (одна с вершины $P$, другая с вершины $F$), суммарная площадь, удаляемая с поверхности октаэдра, составляет:

$S_{removed} = 2 \times (4 \times S_{small\_triangle}) = 8 \times 4\sqrt{3} \text{ см}^2 = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

На месте каждого среза образуется новая грань многогранника — основание отсеченной пирамиды. Поскольку отсекаемые пирамиды являются правильными и их боковые ребра образуют равносторонние треугольники (как $PA'B'$), основания этих пирамид являются квадратами со стороной, равной длине ребра этих маленьких треугольников, то есть $4$ см.

Площадь одного основания отсеченной пирамиды (квадрата со стороной 4 см):

$S_{base\_cut\_pyr} = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.

Поскольку отрезаны две пирамиды, появляются две такие новые квадратные грани.

Суммарная площадь новых граней:

$S_{added} = 2 \times S_{base\_cut\_pyr} = 2 \times 16 \text{ см}^2 = 32 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности получившегося многогранника $S_{new}$ будет равна площади исходного октаэдра за вычетом удаленных частей и прибавлением вновь образованных граней:

$S_{new} = S_{octahedron} - S_{removed} + S_{added}$.

$S_{new} = 128\sqrt{3} \text{ см}^2 - 32\sqrt{3} \text{ см}^2 + 32 \text{ см}^2$.

$S_{new} = (128 - 32)\sqrt{3} \text{ см}^2 + 32 \text{ см}^2$.

$S_{new} = 96\sqrt{3} + 32 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности получившегося многогранника равна $96\sqrt{3} + 32 \text{ см}^2$.