Номер 160, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

160. Найдите площадь полной поверхности куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если:

а) площадь его сечения плоскостью $AB_1C_1$ равна $98\sqrt{2}$ $\text{см}^2$;

б) площадь его диагонального сечения равна $1 \text{ м}^2$.

a) площадь его сечения плоскостью AB₁C₁ равна 98$\sqrt{2}$ см²

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Площадь сечения $S_{AB_1C_1} = 98\sqrt{2}$ см$^2$.

Перевод в СИ

$S_{AB_1C_1} = 98\sqrt{2}$ см$^2 = 98\sqrt{2} \cdot (10^{-2})^2$ м$^2 = 98\sqrt{2} \cdot 10^{-4}$ м$^2$.

Найти

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Рассмотрим сечение $AB_1C_1$. Это треугольник с вершинами $A$, $B_1$, $C_1$.

Определим длины сторон этого треугольника:

1. Сторона $AB_1$: Это диагональ грани $ABB_1A_1$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $AB_1 = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $B_1C_1$: Это ребро куба. Следовательно, $B_1C_1 = a$.

3. Сторона $AC_1$: Это диагональ прямоугольника $ACC_1A_1$ (или пространственная диагональ). Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. $AC$ - диагональ квадрата $ABCD$, $AC = a\sqrt{2}$. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ (с прямым углом при $C$), $AC_1$ является гипотенузой. $CC_1 = a$. Тогда $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $AB_1C_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$(B_1C_1)^2 + (AB_1)^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.

$(AC_1)^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$.

Так как $(B_1C_1)^2 + (AB_1)^2 = (AC_1)^2$, треугольник $AB_1C_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot AB_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

По условию, $S_{AB_1C_1} = 98\sqrt{2}$ см$^2$. Приравниваем выражения для площади:

$\frac{a^2\sqrt{2}}{2} = 98\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{a^2}{2} = 98$

$a^2 = 98 \cdot 2$

$a^2 = 196$

Найдем длину ребра $a$:

$a = \sqrt{196} = 14$ см.

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$ состоит из площадей 6 одинаковых граней (квадратов). Площадь одной грани равна $a^2$.

$S_{full} = 6a^2$

$S_{full} = 6 \cdot 196 = 1176$ см$^2$.

Ответ: 1176 см$^2$

б) площадь его диагонального сечения равна 1 м²

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Площадь диагонального сечения $S_{diag} = 1$ м$^2$.

Перевод в СИ

Все данные уже в системе СИ.

Найти

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$.

Решение

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник, проходящий через два противоположных ребра (например, $AA_1$ и $CC_1$) и диагонали двух противоположных граней ($AC$ и $A_1C_1$). Рассмотрим сечение $ACC_1A_1$.

Стороны этого прямоугольника:

1. Длина ребра куба: $CC_1 = a$.

2. Длина диагонали грани: $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{diag}$ равна произведению длин его сторон:

$S_{diag} = CC_1 \cdot AC = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.

По условию, $S_{diag} = 1$ м$^2$. Приравниваем выражения для площади:

$a^2\sqrt{2} = 1$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:

$a^2 = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м$^2$.

Площадь полной поверхности куба $S_{full}$ вычисляется по формуле $S_{full} = 6a^2$.

$S_{full} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{full} = 3\sqrt{2}$ м$^2$.

Ответ: $3\sqrt{2}$ м$^2$