Номер 165, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

165. a) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

б) В треугольной пирамиде стороны основания равны 13 см, 14 см и 15 см, а все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a)

Дано:

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник.

Катеты основания: $a = 6$ см, $b = 8$ см.

Угол наклона всех боковых граней к плоскости основания: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Решение:

Поскольку все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в основание.

Площадь боковой поверхности пирамиды в этом случае можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$, где $S_{осн}$ – площадь основания, $\alpha$ – угол наклона боковых граней.

1. Найдем площадь основания. Основание – прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$

2. Найдем значение косинуса угла наклона.

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.

$S_{бок} = \frac{24 \text{ см}^2}{1/2} = 24 \text{ см}^2 \cdot 2 = 48 \text{ см}^2$

Ответ:

$48 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Основание пирамиды – треугольник со сторонами: $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Угол наклона всех боковых граней к плоскости основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$b = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Решение:

Поскольку все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в основание.

Площадь боковой поверхности пирамиды в этом случае можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$, где $S_{осн}$ – площадь основания, $\alpha$ – угол наклона боковых граней.

1. Найдем площадь основания, используя формулу Герона. Стороны треугольника $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Полупериметр $s = \frac{a+b+c}{2}$

$s = \frac{13 \text{ см} + 14 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} = \frac{42 \text{ см}}{2} = 21 \text{ см}$

$S_{осн} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S_{осн} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

$S_{осн} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$

$S_{осн} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

$S_{осн} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2$

2. Найдем значение косинуса угла наклона.

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.

$S_{бок} = \frac{84 \text{ см}^2}{\sqrt{2}/2} = \frac{84 \cdot 2}{\sqrt{2}} \text{ см}^2 = \frac{168}{\sqrt{2}} \text{ см}^2 = \frac{168 \sqrt{2}}{2} \text{ см}^2 = 84\sqrt{2} \text{ см}^2$

Ответ:

$84\sqrt{2} \text{ см}^2$