Номер 170, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

170. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, высота которой равна 8 дм, основанием является равнобедренная трапеция с параллельными сторонами, равными 16 дм и 8 дм, а все ее двугранные углы при сторонах основания равны (рисунок 92).

Рисунок 92

Дано:

Пирамида, основанием которой является равнобедренная трапеция.

Высота пирамиды $H = 8$ дм.

Параллельные стороны трапеции $a = 16$ дм, $b = 8$ дм.

Все двугранные углы при сторонах основания равны.

Перевод в СИ:

$H = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$a = 16 \text{ дм} = 1.6 \text{ м}$

$b = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$):

Основание - равнобедренная трапеция с параллельными сторонами $a = 16$ дм и $b = 8$ дм.

Так как в трапецию можно вписать окружность (это следует из того, что двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны, и центр вписанной окружности является проекцией вершины пирамиды на основание), то сумма длин ее противоположных сторон равны: $a + b = c + c = 2c$, где $c$ - боковая сторона трапеции.

$2c = 16 + 8 = 24$ дм.

$c = 12$ дм.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Опустим перпендикуляры из вершин короткого основания на длинное. Отрезки на длинном основании по бокам составят: $x = \frac{a - b}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $c$, высотой трапеции $h_{трап}$ и отрезком $x$, по теореме Пифагора:

$h_{трап}^2 + x^2 = c^2$

$h_{трап}^2 + 4^2 = 12^2$

$h_{трап}^2 + 16 = 144$

$h_{трап}^2 = 144 - 16 = 128$

$h_{трап} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ дм.

Площадь основания (трапеции): $S_{осн} = \frac{a + b}{2} \cdot h_{трап}$

$S_{осн} = \frac{16 + 8}{2} \cdot 8\sqrt{2} = \frac{24}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 12 \cdot 8\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$ дм$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Поскольку все двугранные углы при сторонах основания равны, то проекция вершины пирамиды на основание (точка O) является центром вписанной в основание окружности. В этом случае все апофемы боковых граней равны.

Радиус $r$ вписанной окружности в трапецию равен половине ее высоты: $r = \frac{h_{трап}}{2}$.

$r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ дм.

Найдем апофему $l$ боковых граней. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $l$.

$l^2 = H^2 + r^2$

$l^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 = 64 + 16 \cdot 2 = 64 + 32 = 96$

$l = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ дм.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

Периметр основания: $P_{осн} = a + b + 2c = 16 + 8 + 2 \cdot 12 = 24 + 24 = 48$ дм.

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 4\sqrt{6} = 24 \cdot 4\sqrt{6} = 96\sqrt{6}$ дм$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 96\sqrt{2} + 96\sqrt{6} = 96(\sqrt{2} + \sqrt{6})$ дм$^2$.

Ответ: $96(\sqrt{2} + \sqrt{6})$ дм$^2$.