Страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

167. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, высоты оснований которой равны $18\sqrt{3}$ см и $12\sqrt{3}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}$.

Дано:

Правильная треугольная усеченная пирамида.

Высота большего основания $h_1 = 18\sqrt{3}$ см.

Высота меньшего основания $h_2 = 12\sqrt{3}$ см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$h_1 = 18\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$h_2 = 12\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_а$, где $P_1$ и $P_2$ - периметры оснований, $h_а$ - апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

1. Найдем стороны оснований $a_1$ и $a_2$. Для правильного треугольника высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$a_1 = \frac{2h_1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 36$ см.

$a_2 = \frac{2h_2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24$ см.

2. Найдем периметры оснований $P_1$ и $P_2$.

$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 36 = 108$ см.

$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 24 = 72$ см.

3. Найдем высоту $H$ усеченной пирамиды. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен $60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $L$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности радиусов описанных окружностей вокруг оснований $R_1 - R_2$. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ см.

$R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.

Проекция бокового ребра $k = R_1 - R_2 = 12\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника, образованного $H$, $L$ и $k$, с углом $60^\circ$ между $L$ и $k$: $k = L \cos 60^\circ$.

Найдем боковое ребро $L$: $L = \frac{k}{\cos 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3}$ см.

Тогда высота пирамиды $H = L \sin 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

4. Найдем апофему боковой грани $h_а$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $h_а$ и проекцией апофемы боковой грани на плоскость основания. Проекция апофемы боковой грани на плоскость основания равна разности радиусов вписанных окружностей в основания $r_1 - r_2$. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.

$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Проекция апофемы боковой грани на плоскость основания $p = r_1 - r_2 = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника: $h_а^2 = H^2 + p^2$.

$h_а^2 = (12)^2 + (2\sqrt{3})^2 = 144 + (4 \cdot 3) = 144 + 12 = 156$.

$h_а = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$ см.

5. Вычислим площадь боковой поверхности.

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_а = \frac{1}{2}(108 + 72) \cdot 2\sqrt{39}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2}(180) \cdot 2\sqrt{39} = 90 \cdot 2\sqrt{39} = 180\sqrt{39}$ см$^2$.

В системе СИ: $S_{бок} = 180\sqrt{39} \cdot (10^{-2})^2$ м$^2 = 180\sqrt{39} \cdot 10^{-4}$ м$^2 = 0.018\sqrt{39}$ м$^2$.

Ответ:

$180\sqrt{39}$ см$^2$ или $0.018\sqrt{39}$ м$^2$.

168. Площадь основания правильной треугольной призмы равна $4\sqrt{6}$ дм². Найдите площадь сечения призмы, проведенного через сторону одного основания и параллельную ей среднюю линию другого основания, если угол между плоскостью сечения и боковой гранью, содержащей указанную сторону основания, равен $30^\circ$.

Дано:

Площадь основания правильной треугольной призмы $S_{осн} = 4\sqrt{6}$ дм$^2$.

Угол между плоскостью сечения и боковой гранью, содержащей указанную сторону основания $\theta = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = 4\sqrt{6} \text{ дм}^2 = 4\sqrt{6} \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.04\sqrt{6} \text{ м}^2$.

$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1.

Обозначим сторону основания правильной треугольной призмы как $a$. Основанием призмы является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

2.

Используем данную площадь основания для нахождения стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{6}$

$a^2 = \frac{4 \cdot 4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{2}$

$a = \sqrt{16\sqrt{2}} = 4\sqrt[4]{2}$ дм.

3.

Рассмотрим сечение. Сечение проходит через сторону одного основания (пусть будет AB) и параллельную ей среднюю линию другого основания (пусть будет M'N'). Так как средняя линия в равностороннем треугольнике параллельна стороне и равна ее половине, то длина M'N' = $\frac{a}{2}$.

4.

Сечение ABN'M' является равнобедренной трапецией. Ее параллельные стороны равны $a$ и $\frac{a}{2}$.

5.

Найдем высоту трапеции $h_{трапеции}$. Пусть K - середина стороны AB, а P' - середина средней линии M'N'. Тогда KP' - высота трапеции. Пусть H - высота призмы.

6.

Угол между плоскостью сечения (плоскость ABN'M') и боковой гранью, содержащей сторону AB (плоскость ABB'A'), равен $30^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая AB.

7.

По определению угла между плоскостями, проведем из точки K (середина AB) перпендикулярные отрезки к AB в каждой из плоскостей. В плоскости сечения это будет отрезок KP'. В плоскости боковой грани ABB'A' (которая является прямоугольником для правильной призмы) это будет отрезок $KK_{top}$, где $K_{top}$ - середина A'B'. Длина $KK_{top}$ равна высоте призмы H. Угол между KP' и $KK_{top}$ равен $30^\circ$.

8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $KP_{proj}$, $P'P_{proj}$ и $KP'$, где $P_{proj}$ - проекция точки P' на плоскость нижнего основания. Длина $P'P_{proj}$ равна высоте призмы H. Длина $KP_{proj}$ - это расстояние от середины AB до проекции середины M'N' на нижнее основание. $KP_{proj}$ - это отрезок, соединяющий середину стороны AB с серединой средней линии MN в нижнем основании (MN параллельна AB). Длина $KP_{proj}$ равна половине высоты равностороннего треугольника основания от стороны AB до вершины C: $h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $KP_{proj} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

9.

В треугольнике, образованном $KP'$, $KK_{top}$ и проекцией $P'$ на плоскость $KK_{top}$ (пусть будет $P'_{proj\_KK_{top}}$), высота призмы $H$ и высота трапеции $h_{трапеции}$ связаны соотношением: $H = h_{трапеции} \cdot \cos 30^\circ$.

$h_{трапеции} = \frac{H}{\cos 30^\circ} = \frac{H}{\sqrt{3}/2} = \frac{2H}{\sqrt{3}}$.

10.

Из прямоугольного треугольника с катетами $KP_{proj}$ и $P'P_{proj}$ и гипотенузой $KP'$ (высота трапеции $h_{трапеции}$), по теореме Пифагора:

$(h_{трапеции})^2 = (KP_{proj})^2 + H^2$

$\left(\frac{2H}{\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + H^2$

$\frac{4H^2}{3} = \frac{3a^2}{16} + H^2$

$\frac{4H^2}{3} - H^2 = \frac{3a^2}{16}$

$\frac{H^2}{3} = \frac{3a^2}{16}$

$H^2 = \frac{9a^2}{16}$

$H = \frac{3a}{4}$.

11.

Теперь найдем высоту трапеции $h_{трапеции}$ в явном виде:

$h_{трапеции} = \frac{2H}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \frac{3a}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

12.

Площадь трапеции $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S = \frac{\text{сумма параллельных сторон}}{2} \cdot \text{высота}$.

$S_{сеч} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot h_{трапеции} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{8}$.

13.

Подставим значение $a^2 = 16\sqrt{2}$:

$S_{сеч} = \frac{3\sqrt{3} \cdot (16\sqrt{2})}{8} = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{6}$ дм$^2$.

14.

Переведем в СИ:

$S_{сеч} = 6\sqrt{6} \text{ дм}^2 = 6\sqrt{6} \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.06\sqrt{6} \text{ м}^2$.

Ответ: $0.06\sqrt{6}$ м$^2$.

169. Основание наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – ромб, сторона которого равна $a$, а острый угол – $\varphi$. Вершина $A_1$ удалена от каждой из точек $A, B$ и $D$ на расстояние, равное $a$. Найдите площадь четырехугольника $BB_1D_1D$.

Дано:

Основание наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — ромб $ABCD$.

Сторона ромба $AB = a$.

Острый угол ромба $\angle A = \phi$.

Расстояния от вершины $A_1$ до точек $A, B, D$ равны: $A_1A = A_1B = A_1D = a$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в символьном виде, что не требует перевода в конкретные единицы СИ.

Найти:

Площадь четырехугольника $BB_1D_1D$.

Решение:

1. Определим характеристики ромба $ABCD$. Все стороны ромба равны $a$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AB = a$ и $AD = a$, треугольник $ABD$ является равнобедренным. Диагональ $BD$ ромба можно найти по теореме косинусов в треугольнике $ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos\phi$

$BD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos\phi = 2a^2(1 - \cos\phi)$

Используя тригонометрическое тождество $1 - \cos\phi = 2\sin^2(\phi/2)$, получаем:

$BD^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\phi/2) = 4a^2\sin^2(\phi/2)$

Так как $\phi$ - острый угол ромба ($0 < \phi < \pi/2$), то $\phi/2$ находится в интервале $(0, \pi/4)$, и $\sin(\phi/2) > 0$. Следовательно,

$BD = \sqrt{4a^2\sin^2(\phi/2)} = 2a\sin(\phi/2)$.

2. Рассмотрим условия, связанные с вершиной $A_1$. Нам дано, что $A_1A = A_1B = A_1D = a$. Поскольку $AA_1$, $BB_1$, $DD_1$ являются боковыми ребрами призмы, они равны по длине и параллельны. Таким образом, $AA_1 = BB_1 = DD_1 = a$. Из условия $A_1A = a$ и $AB = a$, а также $A_1B = a$, следует, что треугольник $A_1AB$ является равносторонним. Значит, угол между ребром $AA_1$ и стороной $AB$ равен $\angle A_1AB = 60^\circ$. Аналогично, из условия $A_1A = a$ и $AD = a$, а также $A_1D = a$, следует, что треугольник $A_1AD$ является равносторонним. Значит, угол между ребром $AA_1$ и стороной $AD$ равен $\angle A_1AD = 60^\circ$.

3. Рассмотрим четырехугольник $BB_1D_1D$. Это параллелограмм, так как $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1 = a$. Площадь параллелограмма, образованного двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, исходящими из одной вершины, равна модулю их векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\angle(\vec{u}, \vec{v}))$. Возьмем вершину $D$ как начало векторов. Тогда стороны параллелограмма $BB_1D_1D$ задаются векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$. Площадь $S_{BB_1D_1D} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DD_1}| \sin(\angle(\vec{DB}, \vec{DD_1}))$.

4. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$. Для этого удобно поместить вершину $A$ в начало координат. Пусть $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$. Тогда $|\vec{b}| = a$ и $|\vec{d}| = a$. Скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}||\vec{d}|\cos\phi = a^2\cos\phi$. Пусть $\vec{AA_1} = \vec{v}$. Тогда $|\vec{v}| = a$. Вектор $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{b} - \vec{d}$. Вектор $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{v}$ (по свойству призмы). Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1}$: $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1} = (\vec{b} - \vec{d}) \cdot \vec{v} = \vec{b}\cdot\vec{v} - \vec{d}\cdot\vec{v}$.

5. Вычислим $\vec{b}\cdot\vec{v}$ и $\vec{d}\cdot\vec{v}$. Мы знаем, что $\angle A_1AB = 60^\circ$. Значит, $\cos(\angle A_1AB) = \cos(60^\circ) = 1/2$. $\vec{b}\cdot\vec{v} = |\vec{b}||\vec{v}|\cos(\angle A_1AB) = a \cdot a \cdot (1/2) = a^2/2$. Мы знаем, что $\angle A_1AD = 60^\circ$. Значит, $\cos(\angle A_1AD) = \cos(60^\circ) = 1/2$. $\vec{d}\cdot\vec{v} = |\vec{d}||\vec{v}|\cos(\angle A_1AD) = a \cdot a \cdot (1/2) = a^2/2$.

6. Подставим эти значения в скалярное произведение $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1}$: $\vec{DB} \cdot \vec{DD_1} = a^2/2 - a^2/2 = 0$. Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$).

7. Так как $\vec{DB} \perp \vec{DD_1}$, параллелограмм $BB_1D_1D$ является прямоугольником. Его стороны - это $BD$ и $DD_1$. Длина стороны $DD_1 = a$. Длина стороны $BD = 2a\sin(\phi/2)$ (из пункта 1). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_{BB_1D_1D} = BD \cdot DD_1 = (2a\sin(\phi/2)) \cdot a = 2a^2\sin(\phi/2)$.

Ответ:

$S_{BB_1D_1D} = 2a^2\sin(\phi/2)$.

170. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, высота которой равна 8 дм, основанием является равнобедренная трапеция с параллельными сторонами, равными 16 дм и 8 дм, а все ее двугранные углы при сторонах основания равны (рисунок 92).

Рисунок 92

Дано:

Пирамида, основанием которой является равнобедренная трапеция.

Высота пирамиды $H = 8$ дм.

Параллельные стороны трапеции $a = 16$ дм, $b = 8$ дм.

Все двугранные углы при сторонах основания равны.

Перевод в СИ:

$H = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$a = 16 \text{ дм} = 1.6 \text{ м}$

$b = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$):

Основание - равнобедренная трапеция с параллельными сторонами $a = 16$ дм и $b = 8$ дм.

Так как в трапецию можно вписать окружность (это следует из того, что двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны, и центр вписанной окружности является проекцией вершины пирамиды на основание), то сумма длин ее противоположных сторон равны: $a + b = c + c = 2c$, где $c$ - боковая сторона трапеции.

$2c = 16 + 8 = 24$ дм.

$c = 12$ дм.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Опустим перпендикуляры из вершин короткого основания на длинное. Отрезки на длинном основании по бокам составят: $x = \frac{a - b}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $c$, высотой трапеции $h_{трап}$ и отрезком $x$, по теореме Пифагора:

$h_{трап}^2 + x^2 = c^2$

$h_{трап}^2 + 4^2 = 12^2$

$h_{трап}^2 + 16 = 144$

$h_{трап}^2 = 144 - 16 = 128$

$h_{трап} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ дм.

Площадь основания (трапеции): $S_{осн} = \frac{a + b}{2} \cdot h_{трап}$

$S_{осн} = \frac{16 + 8}{2} \cdot 8\sqrt{2} = \frac{24}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 12 \cdot 8\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$ дм$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Поскольку все двугранные углы при сторонах основания равны, то проекция вершины пирамиды на основание (точка O) является центром вписанной в основание окружности. В этом случае все апофемы боковых граней равны.

Радиус $r$ вписанной окружности в трапецию равен половине ее высоты: $r = \frac{h_{трап}}{2}$.

$r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ дм.

Найдем апофему $l$ боковых граней. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $l$.

$l^2 = H^2 + r^2$

$l^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 = 64 + 16 \cdot 2 = 64 + 32 = 96$

$l = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ дм.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

Периметр основания: $P_{осн} = a + b + 2c = 16 + 8 + 2 \cdot 12 = 24 + 24 = 48$ дм.

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 4\sqrt{6} = 24 \cdot 4\sqrt{6} = 96\sqrt{6}$ дм$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 96\sqrt{2} + 96\sqrt{6} = 96(\sqrt{2} + \sqrt{6})$ дм$^2$.

Ответ: $96(\sqrt{2} + \sqrt{6})$ дм$^2$.

171. Ортогональной проекцией вершины треугольной пирамиды является центр окружности, вписанной в ее основание. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отделило от нее усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как $4 : 49$. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, если стороны ее нижнего основания и высота соответственно равны: 25 см, 39 см, 56 см и 12 см.

Рисунок 92

Дано:

Исходная пирамида: треугольная. Ортогональная проекция вершины пирамиды - центр окружности, вписанной в ее основание.

Усеченная пирамида образована сечением, параллельным основанию исходной пирамиды.

Отношение площадей оснований усеченной пирамиды: $S_{верх} / S_{нижн} = 4 : 49$.

Стороны нижнего основания усеченной пирамиды: $a_1 = 25 \text{ см}$, $b_1 = 39 \text{ см}$, $c_1 = 56 \text{ см}$.

Высота усеченной пирамиды: $H_{усеч} = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$b_1 = 39 \text{ см} = 0.39 \text{ м}$

$c_1 = 56 \text{ см} = 0.56 \text{ м}$

$H_{усеч} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды ($S_{бок.усеч}$).

Решение:

Поскольку сечение параллельно основанию, малая пирамида, отсеченная от исходной, подобна исходной пирамиде. Основания усеченной пирамиды также подобны.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k$):

$\frac{S_{верх}}{S_{нижн}} = k^2 = \frac{4}{49}$

Отсюда, коэффициент подобия $k = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$.

Этот коэффициент связывает линейные размеры верхнего (малого) и нижнего (большого) оснований, а также высоты и апофемы соответствующих пирамид.

1. Найдем периметр нижнего основания ($P_1$):

Стороны нижнего основания $a_1 = 25 \text{ см}$, $b_1 = 39 \text{ см}$, $c_1 = 56 \text{ см}$.

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 25 + 39 + 56 = 120 \text{ см}$.

Ответ:

2. Найдем периметр верхнего основания ($P_2$):

$P_2 = k \cdot P_1 = \frac{2}{7} \cdot 120 = \frac{240}{7} \text{ см}$.

Ответ:

3. Найдем полупериметр нижнего основания ($p_1$) и его площадь ($S_1$):

$p_1 = \frac{P_1}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ см}$.

Используем формулу Герона для площади треугольника:

$S_1 = \sqrt{p_1(p_1-a_1)(p_1-b_1)(p_1-c_1)}$

$S_1 = \sqrt{60(60-25)(60-39)(60-56)}$

$S_1 = \sqrt{60 \cdot 35 \cdot 21 \cdot 4} = \sqrt{(4 \cdot 15) \cdot (5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7) \cdot 4} = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420 \text{ см}^2$.

Ответ:

4. Найдем радиус вписанной окружности в нижнее основание ($r_1$):

Поскольку ортогональная проекция вершины пирамиды является центром вписанной окружности, боковые грани пирамиды имеют равные апофемы. Это позволяет использовать формулу для радиуса вписанной окружности:

$r_1 = \frac{S_1}{p_1} = \frac{420}{60} = 7 \text{ см}$.

Ответ:

5. Найдем радиус вписанной окружности в верхнее основание ($r_2$):

$r_2 = k \cdot r_1 = \frac{2}{7} \cdot 7 = 2 \text{ см}$.

Ответ:

6. Найдем апофему боковой грани усеченной пирамиды ($h_{апоф.усеч}$):

Высота усеченной пирамиды $H_{усеч} = 12 \text{ см}$.

Апофема боковой грани усеченной пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченной пирамиды и разность радиусов вписанных окружностей ее оснований. Это применимо, поскольку проекция вершины совпадает с центром вписанной окружности.

$h_{апоф.усеч} = \sqrt{H_{усеч}^2 + (r_1 - r_2)^2}$

$h_{апоф.усеч} = \sqrt{12^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

Ответ:

7. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды ($S_{бок.усеч}$):

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды находится по формуле:

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_{апоф.усеч}$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(120 + \frac{240}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{120 \cdot 7 + 240}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{840 + 240}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{1080}{7}\right) \cdot 13$

$S_{бок.усеч} = \frac{540}{7} \cdot 13 = \frac{7020}{7} \text{ см}^2$.

Ответ:

172. В треугольной пирамиде $DABC$ все плоские углы при вершине $D$ прямые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины $D$ на плоскость $\triangle ABC$ является точка пересечения его высот.

Дано:

Треугольная пирамида $DABC$.

Все плоские углы при вершине $D$ прямые, то есть:

$\angle ADB = 90^\circ \implies DA \perp DB$
$\angle ADC = 90^\circ \implies DA \perp DC$
$\angle BDC = 90^\circ \implies DB \perp DC$

Пусть $H$ – ортогональная проекция вершины $D$ на плоскость треугольника $ABC$.

Найти:

Доказать, что точка $H$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$.

Решение:

По определению ортогональной проекции, $DH$ является высотой пирамиды, опущенной из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Следовательно, $DH \perp (ABC)$, что означает, что $DH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$.

Нам дано, что $DA \perp DB$ и $DA \perp DC$. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Прямые $DB$ и $DC$ пересекаются в точке $D$ и лежат в плоскости $DBC$. Следовательно, $DA \perp (DBC)$.

Из того, что $DA \perp (DBC)$, следует, что $DA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $DBC$. В частности, $DA \perp BC$, так как $BC$ лежит в плоскости $DBC$.

Теперь рассмотрим прямую $BC$ в плоскости основания $ABC$. Мы имеем:

$DH \perp BC$ (так как $DH \perp (ABC)$)
$DA \perp BC$ (доказано выше)

Прямые $DH$ и $DA$ пересекаются в точке $D$. Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $DA$, лежащим в плоскости $DAH$. Следовательно, $BC \perp (DAH)$.

Поскольку прямая $AH$ лежит в плоскости $DAH$, то из $BC \perp (DAH)$ следует, что $BC \perp AH$. Это означает, что $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.

Проведем аналогичные рассуждения для других сторон треугольника $ABC$:

Для стороны $AC$:

Из условия $DB \perp DA$ и $DB \perp DC$ следует, что $DB \perp (DAC)$. Отсюда $DB \perp AC$.

Мы имеем $DH \perp AC$ (так как $DH \perp (ABC)$) и $DB \perp AC$. Прямые $DH$ и $DB$ пересекаются в точке $D$. Значит, $AC \perp (DBH)$. Поскольку $BH$ лежит в плоскости $DBH$, то $AC \perp BH$. Это означает, что $BH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

Для стороны $AB$:

Из условия $DC \perp DA$ и $DC \perp DB$ следует, что $DC \perp (DAB)$. Отсюда $DC \perp AB$.

Мы имеем $DH \perp AB$ (так как $DH \perp (ABC)$) и $DC \perp AB$. Прямые $DH$ и $DC$ пересекаются в точке $D$. Значит, $AB \perp (DCH)$. Поскольку $CH$ лежит в плоскости $DCH$, то $AB \perp CH$. Это означает, что $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Таким образом, $AH$, $BH$ и $CH$ являются высотами треугольника $ABC$. Поскольку все три высоты проходят через точку $H$ (так как $H$ является ортогональной проекцией $D$ на плоскость $ABC$, и $AH$, $BH$, $CH$ – это отрезки, соединяющие вершины $A, B, C$ с точкой $H$), то точка $H$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано, что ортогональная проекция вершины $D$ на плоскость $\triangle ABC$ является точкой пересечения его высот.

173. Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Найдите площадь ее боковой поверхности, если:

а) диагонали ее оснований равны $d$ и $l$ $(d > l)$, а двугранный угол при ребре основания – $60^\circ$;

б) ее высота равна $h$, площадь диагонального сечения – $Q$, а острый двугранный угол при стороне основания – $\beta$.

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Найти: $S_{бок}$

Решение

а) диагонали ее оснований равны $d$ и $l$ ($d > l$), а двугранный угол при ребре основания – $60^\circ$

Пусть $a_1$ и $a_2$ – длины сторон большого и малого оснований соответственно. Так как основания являются квадратами, их диагонали связаны со сторонами соотношениями: $d = a_1\sqrt{2}$ и $l = a_2\sqrt{2}$.

Отсюда, $a_1 = \frac{d}{\sqrt{2}}$ и $a_2 = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований, умноженной на апофему $h_a$: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} h_a = \frac{4a_1 + 4a_2}{2} h_a = 2(a_1+a_2)h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, высотой усеченной пирамиды $H$ и проекцией апофемы на основание. Проекция апофемы на основание равна половине разности сторон оснований: $x = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

Двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$, что является углом между апофемой и её проекцией на основание. Таким образом, $\cos 60^\circ = \frac{x}{h_a}$.

Из этого соотношения выразим апофему $h_a = \frac{x}{\cos 60^\circ}$.

Подставим значения $a_1$ и $a_2$: $x = \frac{1}{2}\left(\frac{d}{\sqrt{2}} - \frac{l}{\sqrt{2}}\right) = \frac{d-l}{2\sqrt{2}}$.

Тогда $h_a = \frac{\frac{d-l}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{d-l}{\sqrt{2}}$.

Теперь подставим $a_1$, $a_2$ и $h_a$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\left(\frac{d}{\sqrt{2}} + \frac{l}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{d-l}{\sqrt{2}}\right)$

$S_{бок} = 2\left(\frac{d+l}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{d-l}{\sqrt{2}}\right)$

$S_{бок} = 2\frac{(d+l)(d-l)}{2}$

$S_{бок} = (d+l)(d-l)$

$S_{бок} = d^2 - l^2$.

Ответ: $d^2 - l^2$

б) ее высота равна $h$, площадь диагонального сечения – $Q$, а острый двугранный угол при стороне основания – $\beta$

Пусть $a_1$ и $a_2$ – длины сторон большого и малого оснований соответственно. Высота пирамиды $H = h$.

Диагональное сечение правильной четырехугольной усеченной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Ее основаниями являются диагонали оснований пирамиды: $d_1 = a_1\sqrt{2}$ и $d_2 = a_2\sqrt{2}$. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H = h$.

Площадь диагонального сечения $Q = \frac{d_1 + d_2}{2} H = \frac{a_1\sqrt{2} + a_2\sqrt{2}}{2} h$.

$Q = \frac{\sqrt{2}(a_1+a_2)}{2} h = \frac{a_1+a_2}{\sqrt{2}} h$.

Выразим сумму сторон оснований: $a_1+a_2 = \frac{Q\sqrt{2}}{h}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2(a_1+a_2)h_a$, где $h_a$ – апофема боковой грани.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и проекцией апофемы на основание $x = \frac{a_1 - a_2}{2}$. Острый двугранный угол при стороне основания $\beta$ – это угол между апофемой и её проекцией на основание.

В этом треугольнике $H = h_a \sin \beta$.

Отсюда, апофема $h_a = \frac{H}{\sin \beta} = \frac{h}{\sin \beta}$.

Теперь подставим выражения для $(a_1+a_2)$ и $h_a$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \left(\frac{Q\sqrt{2}}{h}\right) \left(\frac{h}{\sin \beta}\right)$

$S_{бок} = \frac{2Q\sqrt{2}}{\sin \beta}$.

Ответ: $\frac{2Q\sqrt{2}}{\sin \beta}$