Страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

181. Какие из тел являются правильными многогранниками: а) куб; б) правильная призма; в) правильная пирамида; г) тетраэдр, в котором все ребра равны; д) многогранник, в котором все грани – равные $n$-угольники?

1) а, б, в;

2) все;

3) все, кроме б;

4) а, г;

5) а, д.

Для определения того, какие из перечисленных тел являются правильными многогранниками, необходимо использовать определение правильного многогранника (Платонова тела). Правильный многогранник должен удовлетворять двум условиям:

1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.

2. В каждой вершине сходится одинаковое число рёбер (и, соответственно, одинаковое число граней).

Существует всего пять выпуклых правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

а) куб

Куб является правильным многогранником. Все его грани – это равные квадраты (правильные четырёхугольники). В каждой вершине куба сходятся три грани и три ребра. Таким образом, куб полностью соответствует определению правильного многогранника.

Ответ: является правильным многогранником.

б) правильная призма

Правильная призма имеет в основании правильный многоугольник, а боковые грани являются прямоугольниками. В общем случае, боковые грани (прямоугольники) не равны основаниям (правильным многоугольникам, например, треугольникам или шестиугольникам). Для того чтобы призма была правильным многогранником, все её грани должны быть равными. Только куб (частный случай правильной четырёхугольной призмы с равными рёбрами) является правильным многогранником. Но "правильная призма" в целом — нет.

Ответ: не является правильным многогранником.

в) правильная пирамида

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, а её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Основание пирамиды (например, квадрат или пятиугольник) не равно боковым граням (треугольникам). Для того чтобы пирамида была правильным многогранником, все её грани должны быть равными. Исключением является правильный тетраэдр, который можно рассматривать как правильную треугольную пирамиду, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Но "правильная пирамида" в общем случае — нет.

Ответ: не является правильным многогранником.

г) тетраэдр, в котором все ребра равны

Тетраэдр имеет четыре грани. Если все его рёбра равны, то все его грани являются равносторонними треугольниками. Равносторонние треугольники – это правильные многоугольники, и все они равны между собой. В каждой вершине такого тетраэдра сходятся три грани. Это соответствует определению правильного многогранника. Тетраэдр с равными рёбрами является правильным тетраэдром – одним из пяти Платоновых тел.

Ответ: является правильным многогранником.

д) многогранник, в котором все грани — равные $n$-угольники

Данное условие утверждает, что все грани многогранника конгруэнтны и являются правильными $n$-угольниками. Однако это только первая часть определения правильного многогранника. Вторая часть, требующая, чтобы в каждой вершине сходилось одинаковое число граней (многогранник должен быть вершинно-транзитивным), здесь не указана. Существуют многогранники (например, некоторые тела Джонсона), у которых все грани – равные правильные многоугольники, но в разных вершинах сходится разное число рёбер/граней. Такие многогранники не являются правильными.

Ответ: не является правильным многогранником.

Исходя из анализа, правильными многогранниками являются только куб (а) и тетраэдр, в котором все ребра равны (г).

Правильный вариант ответа: 4) а, г.

182. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 14 см, а сторона основания равна 16 см. Тогда боковое ребро этой пирамиды равно:

1) 15 см;

2) 18 см;

3) 20 см;

4) $\sqrt{330}$ см;

5) $\sqrt{300}$ см.

Дано

высота правильной четырехугольной пирамиды $h = 14$ см;

сторона основания $a = 16$ см.

Перевод в СИ:

$h = 14 \cdot 10^{-2}$ м;

$a = 16 \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

боковое ребро пирамиды $l$.

Решение

Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат. Высота пирамиды опускается в центр основания (точку пересечения диагоналей квадрата).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($h$), половиной диагонали основания ($d_{half}$) и боковым ребром ($l$). Боковое ребро будет гипотенузой этого треугольника.

Сначала найдем длину диагонали основания ($d$). Для квадрата со стороной $a$ диагональ вычисляется по формуле:

$d = a\sqrt{2}$

Подставим значение $a = 16$ см:

$d = 16\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем половину диагонали основания ($d_{half}$):

$d_{half} = \frac{d}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному высотой $h$, половиной диагонали $d_{half}$ и боковым ребром $l$:

$l^2 = h^2 + (d_{half})^2$

Подставим известные значения $h = 14$ см и $d_{half} = 8\sqrt{2}$ см:

$l^2 = 14^2 + (8\sqrt{2})^2$

$l^2 = 196 + (64 \cdot 2)$

$l^2 = 196 + 128$

$l^2 = 324$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $l$:

$l = \sqrt{324}$

$l = 18$ см.

Ответ: 18 см

183. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 5 см, а боковое ребро – 6 см. Тогда площадь полной поверхности этой призмы равна:

1) $(90 + 12{,}5\sqrt{3})\text{ см}^2$;

2) $(80 + 18\sqrt{3})\text{ см}^2$;

3) $110\text{ см}^2$;

4) $105\text{ см}^2$;

5) $120\text{ см}^2$.

Дано:

Сторона основания правильной треугольной призмы: $a = 5 \text{ см}$

Боковое ребро (высота призмы): $h = 6 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности призмы: $S_{полн}$

Решение

Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы состоит из суммы площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

1. Площадь основания ($S_{осн}$): Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Подставим значение $a = 5 \text{ см}$: $S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} = 6.25 \sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): Площадь боковой поверхности призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен: $P_{осн} = 3a$. Подставим значение $a = 5 \text{ см}$: $P_{осн} = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}$. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, используя $h = 6 \text{ см}$: $S_{бок} = 15 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 90 \text{ см}^2$.

3. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$): Теперь подставим найденные значения площадей основания и боковой поверхности в формулу для полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (6.25 \sqrt{3}) + 90 = 12.5 \sqrt{3} + 90 \text{ см}^2$. Перепишем в более привычном виде: $S_{полн} = (90 + 12.5 \sqrt{3}) \text{ см}^2$.

Ответ: $(90 + 12.5 \sqrt{3}) \text{ см}^2$

184. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды и ее высота равны $a$. Тогда площадь полной поверхности этой пирамиды равна:

1) $\frac{3a^2 \sqrt{10}}{2};$

2) $1,5a^2(\sqrt{3} + \sqrt{7});$

3) $3a^2(\sqrt{7} + \frac{\sqrt{3}}{2});$

4) $\frac{3a^2 \sqrt{5}}{2};$

5) $3a^2(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}).$

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания: $s = a$

Высота пирамиды: $h = a$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полная}$

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая}$.

1. Площадь основания ($S_{основания}$):

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2$.

Подставляем $s = a$:

$S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

2. Площадь боковой поверхности ($S_{боковая}$):

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (высоту боковой грани): $S_{боковая} = \frac{1}{2} P_{основания} \cdot l$, где $l$ - апофема.

Периметр основания правильного шестиугольника со стороной $a$: $P_{основания} = 6s = 6a$.

Для нахождения апофемы $l$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой основания $r_{основания}$ (радиусом вписанной окружности в шестиугольник) и апофемой пирамиды $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой.

Апофема основания правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r_{основания}^2$

Подставляем известные значения $h=a$ и $r_{основания}=\frac{\sqrt{3}}{2} a$:

$l^2 = a^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2$

$l^2 = a^2 + \frac{3}{4} a^2$

$l^2 = \frac{4a^2 + 3a^2}{4}$

$l^2 = \frac{7a^2}{4}$

$l = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} a$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{боковая} = \frac{1}{2} P_{основания} \cdot l = \frac{1}{2} (6a) \left(\frac{\sqrt{7}}{2} a\right)$

$S_{боковая} = 3a \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} a$

$S_{боковая} = \frac{3\sqrt{7}}{2} a^2$

3. Площадь полной поверхности ($S_{полная}$):

$S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая}$

$S_{полная} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{3\sqrt{7}}{2} a^2$

Выносим общий множитель $\frac{3a^2}{2}$:

$S_{полная} = \frac{3a^2}{2} (\sqrt{3} + \sqrt{7})$

Этот результат можно также записать как $1.5a^2(\sqrt{3} + \sqrt{7})$.

Ответ: $1.5a^2(\sqrt{3} + \sqrt{7})$

185. Косинус каждого угла, образованного двумя смежными гранями правильного октаэдра, равен:

1) $\frac{1}{3}$;

2) $-0,5$;

3) $0,5$;

4) $-\frac{1}{3}$;

5) $0,(6)$.

Дано:

Правильный октаэдр.

Найти:

Косинус каждого угла, образованного двумя смежными гранями правильного октаэдра.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми правильных (равносторонних) треугольных граней. В каждой его вершине сходятся четыре грани. Все двугранные углы в правильном октаэдре равны.

Для нахождения косинуса двугранного угла можно поместить октаэдр в декартову систему координат. Пусть вершины октаэдра расположены на осях координат на расстоянии $a$ от начала координат. Без потери общности, можно принять $a=1$. Тогда вершины октаэдра будут:

• $(1, 0, 0)$
• $(-1, 0, 0)$
• $(0, 1, 0)$
• $(0, -1, 0)$
• $(0, 0, 1)$
• $(0, 0, -1)$

Рассмотрим две смежные грани. Например, возьмем грань $F_1$, образованную вершинами $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1)$. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, имеет вид $x+y+z=1$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Теперь рассмотрим смежную грань $F_2$, которая делит ребро с $F_1$. Например, грань, образованную вершинами $(1, 0, 0)$, $(0, -1, 0)$ и $(0, 0, 1)$. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, имеет вид $x-y+z=1$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен косинусу угла между их нормальными векторами. Формула для косинуса угла между двумя векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ выглядит так:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, косинус двугранного угла между смежными гранями правильного октаэдра равен $1/3$.

Ответ:

$1/3$