Номер 181, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

181. Какие из тел являются правильными многогранниками: а) куб; б) правильная призма; в) правильная пирамида; г) тетраэдр, в котором все ребра равны; д) многогранник, в котором все грани – равные $n$-угольники?

1) а, б, в;

2) все;

3) все, кроме б;

4) а, г;

5) а, д.

Для определения того, какие из перечисленных тел являются правильными многогранниками, необходимо использовать определение правильного многогранника (Платонова тела). Правильный многогранник должен удовлетворять двум условиям:

1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.

2. В каждой вершине сходится одинаковое число рёбер (и, соответственно, одинаковое число граней).

Существует всего пять выпуклых правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

а) куб

Куб является правильным многогранником. Все его грани – это равные квадраты (правильные четырёхугольники). В каждой вершине куба сходятся три грани и три ребра. Таким образом, куб полностью соответствует определению правильного многогранника.

Ответ: является правильным многогранником.

б) правильная призма

Правильная призма имеет в основании правильный многоугольник, а боковые грани являются прямоугольниками. В общем случае, боковые грани (прямоугольники) не равны основаниям (правильным многоугольникам, например, треугольникам или шестиугольникам). Для того чтобы призма была правильным многогранником, все её грани должны быть равными. Только куб (частный случай правильной четырёхугольной призмы с равными рёбрами) является правильным многогранником. Но "правильная призма" в целом — нет.

Ответ: не является правильным многогранником.

в) правильная пирамида

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, а её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Основание пирамиды (например, квадрат или пятиугольник) не равно боковым граням (треугольникам). Для того чтобы пирамида была правильным многогранником, все её грани должны быть равными. Исключением является правильный тетраэдр, который можно рассматривать как правильную треугольную пирамиду, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Но "правильная пирамида" в общем случае — нет.

Ответ: не является правильным многогранником.

г) тетраэдр, в котором все ребра равны

Тетраэдр имеет четыре грани. Если все его рёбра равны, то все его грани являются равносторонними треугольниками. Равносторонние треугольники – это правильные многоугольники, и все они равны между собой. В каждой вершине такого тетраэдра сходятся три грани. Это соответствует определению правильного многогранника. Тетраэдр с равными рёбрами является правильным тетраэдром – одним из пяти Платоновых тел.

Ответ: является правильным многогранником.

д) многогранник, в котором все грани — равные $n$-угольники

Данное условие утверждает, что все грани многогранника конгруэнтны и являются правильными $n$-угольниками. Однако это только первая часть определения правильного многогранника. Вторая часть, требующая, чтобы в каждой вершине сходилось одинаковое число граней (многогранник должен быть вершинно-транзитивным), здесь не указана. Существуют многогранники (например, некоторые тела Джонсона), у которых все грани – равные правильные многоугольники, но в разных вершинах сходится разное число рёбер/граней. Такие многогранники не являются правильными.

Ответ: не является правильным многогранником.

Исходя из анализа, правильными многогранниками являются только куб (а) и тетраэдр, в котором все ребра равны (г).

Правильный вариант ответа: 4) а, г.