Номер 186, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

186. В прямом параллелепипеде точка пересечения его диагоналей удалена от плоскости основания на 3 см, а от боковых граней на 2 см и 4 см. Периметр основания равен 30 см. Площадь полной поверхности этого параллелепипеда равна:

1) 260 $cm^2$;

2) 240 $cm^2$;

3) 220 $cm^2$;

4) 208 $cm^2$;

5) 176 $cm^2$.

Дано:

Тип параллелепипеда: прямой.
Расстояние от точки пересечения диагоналей до плоскости основания ($d_h$) = 3 см.
Расстояния от точки пересечения диагоналей до боковых граней ($d_a$, $d_b$) = 2 см и 4 см.
Периметр основания ($P_{осн}$) = 30 см.

Перевод в СИ:

$d_h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$d_a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$d_b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$P_{осн} = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности параллелепипеда ($S_{полн}$).

Решение:

Точка пересечения диагоналей прямого параллелепипеда является его центром. Расстояние от центра параллелепипеда до плоскости основания равно половине высоты параллелепипеда.
Высота параллелепипеда $h$: $h = 2 \cdot d_h = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм. Расстояния от центра параллелепипеда до боковых граней равны половине высот параллелограмма, проведенных к соответствующим сторонам. Пусть $a$ и $b$ - длины сторон основания, а $h_a$ и $h_b$ - высоты параллелограмма, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно.
Тогда $h_a/2 = 4 \text{ см}$ и $h_b/2 = 2 \text{ см}$ (или наоборот, выбор не влияет на конечный результат).
Следовательно, высоты основания равны $h_a = 8 \text{ см}$ и $h_b = 4 \text{ см}$.
Площадь основания параллелепипеда $S_{осн}$ может быть выражена как $S_{осн} = a \cdot h_a$ или $S_{осн} = b \cdot h_b$.
Таким образом, $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
$a \cdot 8 = b \cdot 4$.
Отсюда получаем соотношение между сторонами основания: $8a = 4b \Rightarrow 2a = b$.
Периметр основания $P_{осн}$ равен $30 \text{ см}$. Для параллелограмма периметр равен $P_{осн} = 2(a+b)$.
Подставим известное значение периметра и соотношение $b=2a$:
$30 = 2(a + 2a)$.
$30 = 2(3a)$.
$30 = 6a$.
$a = 30 / 6 = 5 \text{ см}$.
Тогда $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = a \cdot h_a = 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.
(Проверка: $S_{осн} = b \cdot h_b = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$. Результаты совпадают).
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 30 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 180 \text{ см}^2$.
Площадь полной поверхности $S_{полн}$ параллелепипеда равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}$.
$S_{полн} = 2 \cdot 40 \text{ см}^2 + 180 \text{ см}^2$.
$S_{полн} = 80 \text{ см}^2 + 180 \text{ см}^2 = 260 \text{ см}^2$.

Ответ: $260 \text{ см}^2$.