Номер 193, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

193. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит ее высоту в отношении $2:3$ (считая от вершины). Найдите площадь сечения, если известно, что оно меньше площади основания на $84\text{ см}^2$.

Дано:

Отношение, в котором сечение делит высоту пирамиды (считая от вершины): $h : (H - h) = 2 : 3$, где $h$ - высота малой пирамиды (до сечения), $H$ - высота большой пирамиды (до основания).

Разность площадей основания и сечения: $S_{осн} - S_{сеч} = 84 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже в согласованных единицах (см$^2$), перевод в СИ (м$^2$) не требуется для решения задачи.

Найти:

Площадь сечения ($S_{сеч}$).

Решение:

Поскольку сечение параллельно основанию, малая пирамида (от вершины до сечения) подобна большой пирамиде. Отношение их высот:$\frac{h}{H} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их линейных размеров (в данном случае, высот):$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{4}{25}$

Из этого соотношения выразим $S_{осн}$ через $S_{сеч}$:$S_{осн} = \frac{25}{4} S_{сеч}$

Теперь используем второе условие из дано: $S_{осн} - S_{сеч} = 84$.Подставим выражение для $S_{осн}$:$\frac{25}{4} S_{сеч} - S_{сеч} = 84$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{25}{4} S_{сеч} - \frac{4}{4} S_{сеч} = 84$$\frac{25 - 4}{4} S_{сеч} = 84$$\frac{21}{4} S_{сеч} = 84$

Вычислим $S_{сеч}$:$S_{сеч} = 84 \times \frac{4}{21}$$S_{сеч} = \frac{84}{21} \times 4$$S_{сеч} = 4 \times 4$$S_{сеч} = 16$

Ответ:

Площадь сечения равна $16 \text{ см}^2$.