Номер 198, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

8. Расстояние от точки до плоскости. II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 198, страница 72.

Условие.

198. Найдите расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точку:

а) $M(4; -2; -6)$ и перпендикулярной оси аппликат;

б) $N(-7; 4; 5)$ и перпендикулярной оси абсцисс.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Начало координат $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Расстояние от начала координат до плоскости.

Решение:

Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Расстояние от точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ определяется формулой:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае точка $P_0$ - это начало координат $O(0; 0; 0)$, поэтому $x_0=0, y_0=0, z_0=0$.

Формула для расстояния от начала координат до плоскости упрощается до:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а) M(4; -2; -6) и перпендикулярной оси аппликат;

Дано:

Точка $M(4; -2; -6)$.

Плоскость перпендикулярна оси аппликат (оси Z).

Найти:

Расстояние от $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости.

Решение:

Если плоскость перпендикулярна оси аппликат (оси Z), это означает, что ее нормальный вектор параллелен оси Z. Таким образом, компоненты нормального вектора по осям X и Y равны нулю, т.е. $A=0$ и $B=0$. Уравнение плоскости принимает вид $Cz + D = 0$. Мы можем разделить на $C$ (поскольку $C \neq 0$), чтобы получить $z + D' = 0$, или $z = -D'$. Пусть это будет $z = k$.

Поскольку плоскость проходит через точку $M(4; -2; -6)$, координата $z$ этой точки должна удовлетворять уравнению плоскости.

Следовательно, $k = -6$.

Уравнение плоскости: $z = -6$, или $0x + 0y + 1z + 6 = 0$.

Здесь $A=0$, $B=0$, $C=1$, $D=6$.

Используем формулу расстояния от начала координат до плоскости:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{1}} = 6$

Ответ: $6$

б) N(-7; 4; 5) и перпендикулярной оси абсцисс.

Дано:

Точка $N(-7; 4; 5)$.

Плоскость перпендикулярна оси абсцисс (оси X).

Найти:

Расстояние от $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости.

Решение:

Если плоскость перпендикулярна оси абсцисс (оси X), это означает, что ее нормальный вектор параллелен оси X. Таким образом, компоненты нормального вектора по осям Y и Z равны нулю, т.е. $B=0$ и $C=0$. Уравнение плоскости принимает вид $Ax + D = 0$. Мы можем разделить на $A$ (поскольку $A \neq 0$), чтобы получить $x + D' = 0$, или $x = -D'$. Пусть это будет $x = k$.

Поскольку плоскость проходит через точку $N(-7; 4; 5)$, координата $x$ этой точки должна удовлетворять уравнению плоскости.

Следовательно, $k = -7$.

Уравнение плоскости: $x = -7$, или $1x + 0y + 0z + 7 = 0$.

Здесь $A=1$, $B=0$, $C=0$, $D=7$.

Используем формулу расстояния от начала координат до плоскости:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{1}} = 7$

Ответ: $7$