Номер 203, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

203. Найдите расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точку A(-5; 4; -3) и перпендикулярной вектору:

a) $ \vec{n} = 3\vec{i} + 3\vec{j} $;

б) $ \vec{n} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} $.

Дано:
Точка $A(-5, 4, -3)$
Точка $O(0, 0, 0)$ (начало координат)

Найти:
Расстояние от точки $O$ до плоскости $d$.

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ и перпендикулярной вектору $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:
$A(x - x_A) + B(y - y_A) + C(z - z_A) = 0$
Расстояние от точки $O(x_O, y_O, z_O)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_O + By_O + Cz_O + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а) n = 3i + 3j

Для данного случая имеем:
Точка $A(-5, 4, -3)$
Нормальный вектор $\vec{n} = (3, 3, 0)$, то есть $A=3$, $B=3$, $C=0$.

Составим уравнение плоскости:
$3(x - (-5)) + 3(y - 4) + 0(z - (-3)) = 0$
$3(x + 5) + 3(y - 4) = 0$
$3x + 15 + 3y - 12 = 0$
$3x + 3y + 3 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3:
$x + y + 1 = 0$
Здесь $A=1$, $B=1$, $C=0$, $D=1$.

Теперь найдем расстояние от начала координат $O(0, 0, 0)$ до этой плоскости:
$d = \frac{|1(0) + 1(0) + 0(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1 + 0}}$
$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) n = 2i + 2j + k

Для данного случая имеем:
Точка $A(-5, 4, -3)$
Нормальный вектор $\vec{n} = (2, 2, 1)$, то есть $A=2$, $B=2$, $C=1$.

Составим уравнение плоскости:
$2(x - (-5)) + 2(y - 4) + 1(z - (-3)) = 0$
$2(x + 5) + 2(y - 4) + (z + 3) = 0$
$2x + 10 + 2y - 8 + z + 3 = 0$
$2x + 2y + z + 5 = 0$
Здесь $A=2$, $B=2$, $C=1$, $D=5$.

Теперь найдем расстояние от начала координат $O(0, 0, 0)$ до этой плоскости:
$d = \frac{|2(0) + 2(0) + 1(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$
$d = \frac{5}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$