Номер 208, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

208. Высота правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 4, а сторона основания равна $2\sqrt{2}$. Найдите расстояние от точки A до плоскости PCD.

Дано:

Высота правильной четырехугольной пирамиды $PABCD$: $PO = 4$.

Сторона основания пирамиды: $a = 2\sqrt{2}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $PCD$, $d(A, \text{PCD})$.

Решение:

Пусть $O$ - центр основания $ABCD$ правильной четырехугольной пирамиды $PABCD$. Тогда $PO$ - высота пирамиды.

Для нахождения расстояния от точки $A$ до плоскости $PCD$ воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $APCD$. Его объем $V_{APCD}$ может быть выражен двумя способами:

1. Если за основание тетраэдра $APCD$ принять треугольник $ACD$, то высотой будет высота пирамиды $PO$. Основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a = 2\sqrt{2}$. Площадь квадрата $ABCD$: $S_{ABCD} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Треугольник $ACD$ является половиной квадрата $ABCD$, поэтому его площадь: $S_{ACD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Объем тетраэдра $APCD$ в этом случае: $V_{APCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot PO = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{3}$.

2. Если за основание тетраэдра $APCD$ принять треугольник $PCD$, то высотой будет искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $PCD$, обозначим его $h_A = d(A, \text{PCD})$. Для этого нам необходимо найти площадь треугольника $PCD$. Треугольник $PCD$ - это боковая грань пирамиды. Его основание $CD = a = 2\sqrt{2}$. Высота треугольника $PCD$, опущенная из вершины $P$ на сторону $CD$, называется апофемой пирамиды. Пусть $M$ - середина стороны $CD$. Тогда $PM$ - апофема. Длина отрезка $OM$ (расстояние от центра основания до середины стороны): $OM = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $POM$, где $PO$ - высота пирамиды, $OM$ - половина стороны основания. По теореме Пифагора найдем апофему $PM$: $PM^2 = PO^2 + OM^2$. $PM^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$. $PM = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь треугольника $PCD$: $S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})$. $S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$.

Объем тетраэдра $APCD$ в этом случае: $V_{APCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{PCD} \cdot h_A = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot h_A = 2 h_A$.

Приравнивая два выражения для объема тетраэдра $APCD$: $2 h_A = \frac{16}{3}$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $h_A$: $h_A = \frac{16}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $PCD$ равно $\frac{8}{3}$.