Номер 209, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

209. Дан тетраэдр $PABC$, все плоские углы при вершине $P$ которого прямые, $PA = 9$ см, $PB = 12$ см и $PC = 16$ см. Найдите с точностью до $0,1$ см расстояние от вершины $P$ этого тетраэдра до плоскости $ABC$.

Дано:

Дан тетраэдр $PABC$, у которого все плоские углы при вершине $P$ прямые.

$PA = 9 \text{ см}$

$PB = 12 \text{ см}$

$PC = 16 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$PA = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$PB = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$PC = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от вершины $P$ до плоскости $ABC$, с точностью до $0.1 \text{ см}$. Обозначим это расстояние $h$.

Решение:

Поскольку все плоские углы при вершине $P$ прямые, ребра $PA$, $PB$, $PC$ взаимно перпендикулярны.

Объем тетраэдра $PABC$ с взаимно перпендикулярными ребрами, выходящими из одной вершины, может быть вычислен по формуле:

$V = \frac{1}{6} \cdot PA \cdot PB \cdot PC$

Подставим данные значения:

$V = \frac{1}{6} \cdot 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = \frac{1}{6} \cdot 1728 \text{ см}^3 = 288 \text{ см}^3$

С другой стороны, объем тетраэдра также может быть выражен через площадь основания $S_{ABC}$ и высоту $h$, опущенную из вершины $P$ на это основание:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h$

Отсюда, искомая высота $h = \frac{3V}{S_{ABC}}$.

Для нахождения площади основания $S_{ABC}$ воспользуемся свойством тетраэдра с взаимно перпендикулярными ребрами: квадрат площади грани, противоположной вершине с прямыми углами, равен сумме квадратов площадей остальных трех граней, которые являются прямоугольными треугольниками.

Площади прямоугольных граней, выходящих из вершины $P$:

$S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PB = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$

$S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$

$S_{PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$

Тогда, площадь $S_{ABC}$ находится по формуле:

$S_{ABC}^2 = S_{PAB}^2 + S_{PBC}^2 + S_{PAC}^2$

$S_{ABC}^2 = (54 \text{ см}^2)^2 + (96 \text{ см}^2)^2 + (72 \text{ см}^2)^2 = 2916 + 9216 + 5184 = 17316 \text{ см}^4$

$S_{ABC} = \sqrt{17316} \text{ см}^2$

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \frac{3V}{S_{ABC}} = \frac{3 \cdot 288 \text{ см}^3}{\sqrt{17316} \text{ см}^2} = \frac{864}{\sqrt{17316}} \text{ см}$

Также можно использовать известную формулу для высоты, опущенной из вершины прямого угла в тетраэдре на противоположную грань:

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{PA^2} + \frac{1}{PB^2} + \frac{1}{PC^2}$

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{(9 \text{ см})^2} + \frac{1}{(12 \text{ см})^2} + \frac{1}{(16 \text{ см})^2} = \frac{1}{81 \text{ см}^2} + \frac{1}{144 \text{ см}^2} + \frac{1}{256 \text{ см}^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для $81=3^4$, $144=2^4 \cdot 3^2$, $256=2^8$ является $2^8 \cdot 3^4 = 256 \cdot 81 = 20736$.

$\frac{1}{h^2} = \frac{256}{20736 \text{ см}^2} + \frac{144}{20736 \text{ см}^2} + \frac{81}{20736 \text{ см}^2} = \frac{256 + 144 + 81}{20736 \text{ см}^2} = \frac{481}{20736 \text{ см}^2}$

Тогда $h^2 = \frac{20736}{481} \text{ см}^2$

$h = \sqrt{\frac{20736}{481}} \text{ см} = \frac{\sqrt{20736}}{\sqrt{481}} \text{ см}$

Вычислим значение $\sqrt{20736}$:

$\sqrt{20736} = 144$

Значит, $h = \frac{144}{\sqrt{481}} \text{ см}$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{481} \approx 21.9317075$

$h \approx \frac{144}{21.9317075} \text{ см} \approx 6.56582 \text{ см}$

Округлим результат до $0.1 \text{ см}$:

$h \approx 6.6 \text{ см}$

Ответ:

Расстояние от вершины $P$ до плоскости $ABC$ составляет приблизительно $6.6 \text{ см}$.