Номер 202, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

202. a) Дан треугольник с вершинами в точках $A(2; 1; 0)$, $B(1; 3; 0)$, $C(4; 4; 0)$. Найдите расстояние от точки $M(2020; 2021; 2030)$ до плоскости $ABC$.

б) Известны координаты вершин тетраэдра $A(3; 0; 1)$, $B(-1; 4; 1)$, $C(5; 2; 1)$, $D(0; -5; 6)$. Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $ABC$.

а)

Дано:

точки $A(2; 1; 0)$, $B(1; 3; 0)$, $C(4; 4; 0)$;

точка $M(2020; 2021; 2030)$.

Найти:

расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Решение:

1. Найдем уравнение плоскости $ABC$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (1-2; 3-1; 0-0) = (-1; 2; 0)$.

$\vec{AC} = C - A = (4-2; 4-1; 0-0) = (2; 3; 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(-1 \cdot 3 - 2 \cdot 2)$

$\vec{n} = (0; 0; -7)$.

Для удобства можно взять нормальный вектор $\vec{n'} = (0; 0; 1)$, который сонаправлен с $\vec{n}$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для $\vec{n'} = (0; 0; 1)$ получаем $0x + 0y + 1z + D = 0$, или $z + D = 0$.

Подставим координаты точки $A(2; 1; 0)$ в уравнение плоскости:

$0 + D = 0 \implies D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC$ есть $z = 0$. (Это также очевидно из того, что все точки $A, B, C$ имеют z-координату, равную 0, т.е. они лежат в плоскости $Oxy$).

2. Найдем расстояние от точки $M(2020; 2021; 2030)$ до плоскости $z = 0$.

Формула расстояния от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $z = 0$ (т.е., $0x + 0y + 1z + 0 = 0$), имеем $A=0, B=0, C=1, D=0$.

Для точки $M(2020; 2021; 2030)$, имеем $x_0=2020, y_0=2021, z_0=2030$.

$d = \frac{|0 \cdot 2020 + 0 \cdot 2021 + 1 \cdot 2030 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|2030|}{\sqrt{1}} = 2030$.

Ответ: $2030$.

б)

Дано:

координаты вершин тетраэдра $A(3; 0; 1)$, $B(-1; 4; 1)$, $C(5; 2; 1)$, $D(0; -5; 6)$.

Найти:

расстояние от вершины $D$ до плоскости $ABC$.

Решение:

1. Найдем уравнение плоскости $ABC$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (-1-3; 4-0; 1-1) = (-4; 4; 0)$.

$\vec{AC} = C - A = (5-3; 2-0; 1-1) = (2; 2; 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 0 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(-4 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(-4 \cdot 2 - 4 \cdot 2)$

$\vec{n} = (0; 0; -16)$.

Для удобства можно взять нормальный вектор $\vec{n'} = (0; 0; 1)$, который сонаправлен с $\vec{n}$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для $\vec{n'} = (0; 0; 1)$ получаем $0x + 0y + 1z + D = 0$, или $z + D = 0$.

Подставим координаты точки $A(3; 0; 1)$ в уравнение плоскости:

$1 + D = 0 \implies D = -1$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC$ есть $z - 1 = 0$, или $z = 1$. (Это также очевидно из того, что все точки $A, B, C$ имеют z-координату, равную 1, т.е. они лежат в плоскости $z=1$).

2. Найдем расстояние от точки $D(0; -5; 6)$ до плоскости $z = 1$.

Формула расстояния от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $z - 1 = 0$ (т.е., $0x + 0y + 1z - 1 = 0$), имеем $A=0, B=0, C=1, D=-1$.

Для точки $D(0; -5; 6)$, имеем $x_0=0, y_0=-5, z_0=6$.

$d = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot (-5) + 1 \cdot 6 - 1|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{1}} = \frac{|5|}{1} = 5$.

Ответ: $5$.