Номер 201, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

201. Точка $M(1; m; n)$ принадлежит прямой, заданной уравнением $ \begin{cases} x + y - z - 4 = 0, \\ 2x - y + 4z - 5 = 0. \end{cases} $ Найдите расстояние от этой точки до плоскости $x + y + z + 1 = 0.$

Дано:

Точка $M(1; m; n)$

Прямая задана системой уравнений:

$\begin{cases} x + y - z - 4 = 0 \\ 2x - y + 4z - 5 = 0 \end{cases}$

Плоскость задана уравнением: $x + y + z + 1 = 0$

Найти:

Расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости.

Решение:

Поскольку точка $M(1; m; n)$ принадлежит заданной прямой, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям прямой. Подставим координаты точки $M$ в уравнения прямой:

$\begin{cases} 1 + m - n - 4 = 0 \\ 2(1) - m + 4n - 5 = 0 \end{cases}$

Упростим систему уравнений:

$\begin{cases} m - n - 3 = 0 \Rightarrow m - n = 3 \quad (1) \\ 2 - m + 4n - 5 = 0 \Rightarrow -m + 4n = 3 \quad (2) \end{cases}$

Сложим уравнение (1) и уравнение (2), чтобы исключить $m$:

$(m - n) + (-m + 4n) = 3 + 3$

$3n = 6$

$n = 2$

Подставим значение $n = 2$ в уравнение (1):

$m - 2 = 3$

$m = 5$

Таким образом, координаты точки $M$ равны $(1; 5; 2)$.

Теперь найдем расстояние от точки $M(1; 5; 2)$ до плоскости $x + y + z + 1 = 0$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Для данной плоскости имеем $A = 1$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Координаты точки $M$: $x_0 = 1$, $y_0 = 5$, $z_0 = 2$.

Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения:

$d = \frac{|(1)(1) + (1)(5) + (1)(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|1 + 5 + 2 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|9|}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{9}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$d = \frac{9\sqrt{3}}{3}$

$d = 3\sqrt{3}$

Ответ: $3\sqrt{3}$