Номер 196, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

196. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого равны 6 м и 8 м. Основанием высоты пирамиды, равной 1 м, является точка пересечения диагоналей ромба. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Дано:

$d_1 = 6 \text{ м}$

$d_2 = 8 \text{ м}$

$h = 1 \text{ м}$

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), перевод не требуется.

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{full}$).

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{full}$ состоит из площади основания $S_{base}$ и площади боковой поверхности $S_{lateral}$.

1. Находим площадь основания пирамиды ($S_{base}$):

Основание пирамиды - ромб. Площадь ромба вычисляется по формуле: $S_{base} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Подставляем значения: $S_{base} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ м} \cdot 8 \text{ м} = 24 \text{ м}^2$.

2. Находим сторону ромба ($a$):

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и пересекаются под прямым углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ м}$

По теореме Пифагора находим сторону ромба $a$: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$.

$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

$a = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

3. Находим апофему основания ромба ($h_{base}$), т.е. расстояние от центра ромба до его стороны:

Площадь ромба также может быть выражена как произведение стороны на высоту: $S_{base} = a \cdot H_{rhombus}$, где $H_{rhombus}$ - высота ромба.

$24 \text{ м}^2 = 5 \text{ м} \cdot H_{rhombus}$.

$H_{rhombus} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ м}$.

Расстояние от центра ромба до любой из его сторон ($h_{base}$) равно половине высоты ромба: $h_{base} = \frac{H_{rhombus}}{2}$.

$h_{base} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ м}$.

4. Находим апофему боковой грани пирамиды ($l$ - наклонную высоту):

Апофема боковой грани $l$, высота пирамиды $h$, и расстояние от центра основания до стороны ромба $h_{base}$ образуют прямоугольный треугольник. Высота пирамиды перпендикулярна основанию.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + h_{base}^2$.

$l^2 = 1^2 + (2.4)^2 = 1 + 5.76 = 6.76$.

$l = \sqrt{6.76} = 2.6 \text{ м}$.

5. Находим площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{lateral}$):

Поскольку основание пирамиды - ромб, и высота опускается в центр ромба, все четыре боковые грани являются равными треугольниками. Площадь одной боковой грани $S_{face} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{апофема} = \frac{1}{2} a l$.

Площадь боковой поверхности: $S_{lateral} = 4 \cdot S_{face} = 4 \cdot \frac{1}{2} a l = 2 a l$.

$S_{lateral} = 2 \cdot 5 \text{ м} \cdot 2.6 \text{ м} = 10 \cdot 2.6 \text{ м}^2 = 26 \text{ м}^2$.

6. Находим площадь полной поверхности пирамиды ($S_{full}$):

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{full} = S_{base} + S_{lateral}$.

$S_{full} = 24 \text{ м}^2 + 26 \text{ м}^2 = 50 \text{ м}^2$.

Ответ: 50 м$^2$.