Номер 189, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

189. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб, в котором $\angle BAD = 60^\circ$. Высота призмы равна $8$ см. Расстояние от вершины $B_1$ до прямой $AC$ равно $10$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямая.
Основание $ABCD$ - ромб.
Угол $\angle BAD = 60^\circ$.
Высота призмы $H = 8$ см.
Расстояние от вершины $B_1$ до прямой $AC$: $d(B_1, AC) = 10$ см.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $H$ - высота призмы.
2. Основанием призмы является ромб $ABCD$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$, где $a$ - длина стороны ромба. Таким образом, $S_{бок} = 4aH$. Нам известна высота $H = 8$ см, необходимо найти сторону ромба $a$.
3. Рассмотрим расстояние от вершины $B_1$ до прямой $AC$. Пусть $M$ - точка на прямой $AC$ такая, что $B_1M \perp AC$. По условию, $B_1M = 10$ см.
4. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.
5. Проведем перпендикуляр $BM'$ из вершины $B$ к прямой $AC$ в плоскости основания. По теореме о трех перпендикулярах, если $BB_1 \perp \text{плоскости } ABCD$ и $BM' \perp AC$, то $B_1M' \perp AC$. Следовательно, расстояние от $B_1$ до $AC$ это и есть $B_1M'$, т.е. $B_1M' = 10$ см.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BM'$. Угол $\angle B_1BM'$ равен $90^\circ$. Известны гипотенуза $B_1M' = 10$ см и катет $BB_1 = H = 8$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BM'$:
$BM'^2 = B_1M'^2 - BB_1^2$
$BM'^2 = 10^2 - 8^2$
$BM'^2 = 100 - 64$
$BM'^2 = 36$
$BM' = \sqrt{36} = 6$ см.
7. Рассмотрим ромб $ABCD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $BO \perp AC$. Следовательно, перпендикуляр $BM'$ из вершины $B$ к диагонали $AC$ совпадает с отрезком $BO$. Таким образом, $BO = 6$ см.
8. В ромбе $ABCD$ диагональ $BD$ равна $2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см.
9. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $ABCD$ - ромб, $AB = AD$. Угол $\angle BAD = 60^\circ$. Таким образом, $\triangle ABD$ - равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$. Это означает, что $\triangle ABD$ является равносторонним треугольником. Следовательно, $AB = AD = BD$.
10. Мы нашли, что $BD = 12$ см. Значит, сторона ромба $a = AB = 12$ см.
11. Теперь можем найти периметр основания: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 12 = 48$ см.
12. Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 48 \cdot 8 = 384$ см$^2$.

Ответ:

384 см$^2$