Номер 185, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

185. Косинус каждого угла, образованного двумя смежными гранями правильного октаэдра, равен:

1) $\frac{1}{3}$;

2) $-0,5$;

3) $0,5$;

4) $-\frac{1}{3}$;

5) $0,(6)$.

Дано:

Правильный октаэдр.

Найти:

Косинус каждого угла, образованного двумя смежными гранями правильного октаэдра.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми правильных (равносторонних) треугольных граней. В каждой его вершине сходятся четыре грани. Все двугранные углы в правильном октаэдре равны.

Для нахождения косинуса двугранного угла можно поместить октаэдр в декартову систему координат. Пусть вершины октаэдра расположены на осях координат на расстоянии $a$ от начала координат. Без потери общности, можно принять $a=1$. Тогда вершины октаэдра будут:

• $(1, 0, 0)$
• $(-1, 0, 0)$
• $(0, 1, 0)$
• $(0, -1, 0)$
• $(0, 0, 1)$
• $(0, 0, -1)$

Рассмотрим две смежные грани. Например, возьмем грань $F_1$, образованную вершинами $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1)$. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, имеет вид $x+y+z=1$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Теперь рассмотрим смежную грань $F_2$, которая делит ребро с $F_1$. Например, грань, образованную вершинами $(1, 0, 0)$, $(0, -1, 0)$ и $(0, 0, 1)$. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, имеет вид $x-y+z=1$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен косинусу угла между их нормальными векторами. Формула для косинуса угла между двумя векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ выглядит так:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, косинус двугранного угла между смежными гранями правильного октаэдра равен $1/3$.

Ответ:

$1/3$