Номер 187, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

187. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной $\sqrt{3}$ см. Ортогональной проекцией вершины $A_1$ является точка пересечения медиан основания, а ребро $AA_1$ наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Площадь боковой поверхности этой призмы равна:

1) $3\sqrt{3}$ см$^2$;

2) $(\sqrt{15} + \sqrt{3})$ см$^2$;

3) $\frac{3\sqrt{15}}{2}$ см$^2$;

4) $(\sqrt{6} + \sqrt{15})$ см$^2$;

5) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ см$^2$.

Дано:

призма $ABC A_1B_1C_1$

основание $ABC$ - равносторонний треугольник

сторона основания $a = \sqrt{3}$ см

ортогональная проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$ - точка $O$ (пересечение медиан)

угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

по условию, основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = \sqrt{3}$ см.

ортогональная проекция вершины $A_1$ на плоскость основания - точка $O$, которая является точкой пересечения медиан основания. для равностороннего треугольника точка пересечения медиан является также центром описанной и вписанной окружностей, а также центром тяжести.

длина медианы (и высоты) $m$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

подставляем значение $a = \sqrt{3}$ см:

$m = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ см.

точка $O$ делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. таким образом, расстояние от вершины $A$ до центра $O$ равно:

$AO = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ см.

расстояние от центра $O$ до середины стороны (например, до середины $AB$, назовем ее $M$) равно:

$OM = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ см.

высота призмы $H$ - это отрезок $A_1O$, так как $A_1O$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания - это угол между $AA_1$ и ее проекцией $AO$ на плоскость основания, то есть $\angle A_1AO = 45^\circ$.

рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OA$ (прямой угол в $O$).

высота призмы $H = A_1O = AO \cdot \tan(\angle A_1AO)$.

$H = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$ см.

длина бокового ребра $l = AA_1 = \frac{AO}{\cos(\angle A_1AO)}$.

$l = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

все боковые ребра призмы равны $l = \sqrt{2}$ см.

боковые грани призмы являются параллелограммами. поскольку основание - равносторонний треугольник и проекция верхней вершины ($A_1$) совпадает с центром основания ($O$), все боковые грани конгруэнтны. это следует из равенства расстояний от центра $O$ до середин всех сторон основания ($OM = ON = OP$).

рассмотрим одну из боковых граней, например, $ABB_1A_1$. ее основание $AB = a = \sqrt{3}$ см.

чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужна его высота. пусть $M$ - середина стороны $AB$. тогда $OM$ - перпендикуляр к $AB$ в плоскости основания.

по теореме о трех перпендикулярах, если $A_1O \perp \text{плоскость}(ABC)$ и $OM \perp AB$, то $A_1M \perp AB$.

таким образом, $A_1M$ является высотой боковой грани $ABB_1A_1$, опущенной на сторону $AB$.

рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OM$ (прямой угол в $O$).

по теореме пифагора:

$A_1M^2 = A_1O^2 + OM^2$

$A_1M^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

$A_1M = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

площадь одной боковой грани $S_{грани}$ (параллелограмма) вычисляется как произведение длины основания на высоту:

$S_{грани} = \text{основание} \cdot \text{высота} = AB \cdot A_1M$

$S_{грани} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см$^2$.

поскольку призма имеет 3 боковые грани и они конгруэнтны, общая площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$ см$^2$.

Ответ:

$\frac{3\sqrt{15}}{2} \text{ см}^2$