Номер 194, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

194. Найдите площади диагональных сечений пирамиды, основание которой – квадрат со стороной 8 см, если две соседние боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, а каждая из остальных наклонена к нему под углом 30°.

Дано:

пирамида $SABCD$, основание $ABCD$ — квадрат,

сторона квадрата $a = 8$ см,

боковые грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$,

боковые грани $SBC$ и $SCD$ наклонены к плоскости основания под углом $\alpha = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 8$ см $= 0.08$ м.

$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ рад.

Найти:

площади диагональных сечений $S_{SAC}$ и $S_{SBD}$.

Решение:

Определение высоты пирамиды

Поскольку две соседние боковые грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, их общая линия пересечения $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим $H = SA$.

Угол между плоскостью грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $30^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является сторона $BC$. В основании $ABCD$ (квадрат) $AB \perp BC$. Поскольку $SA$ является высотой пирамиды, $SA \perp AB$ и $SA \perp BC$. Так как $AB \perp BC$ (в основании) и $SA \perp BC$ (так как $SA \perp$ плоскости $ABCD$), то по теореме о трех перпендикулярах, $SB \perp BC$. Следовательно, угол между гранью $SBC$ и основанием $ABCD$ – это угол $\angle SBA$. По условию, $\angle SBA = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SAB$ (катет $SA$ перпендикулярен катету $AB$):

$SA = AB \cdot \tan(\angle SBA)$

$H = a \cdot \tan(30^\circ)$

$H = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Площадь первого диагонального сечения

Первое диагональное сечение – это треугольник $SAC$.

Его основанием является диагональ квадрата $AC$. Длина диагонали квадрата $AC = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Высота этого треугольника – высота пирамиды $SA = H$, так как $SA \perp AC$ (поскольку $SA \perp$ плоскости $ABCD$, а $AC$ лежит в этой плоскости).

Площадь $S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SA$

$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2}) \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}$

$S_{SAC} = \frac{64\sqrt{6}}{6} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{SAC} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$ см$^2$.

Площадь второго диагонального сечения

Второе диагональное сечение – это треугольник $SBD$.

Его основанием является диагональ квадрата $BD$. Длина диагонали квадрата $BD = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения высоты $\triangle SBD$ (опущенной из вершины $S$ на $BD$) проведем из точки $A$ (основания высоты пирамиды) перпендикуляр к диагонали $BD$. В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO \perp BD$.

Поскольку $SA \perp$ плоскости $ABCD$ и $AO \perp BD$, то по теореме о трех перпендикулярах, $SO \perp BD$. Значит, $SO$ – высота треугольника $SBD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ (катет $SA$ перпендикулярен катету $AO$):

Длина отрезка $AO$ – это половина диагонали квадрата: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Высота $SO = \sqrt{SA^2 + AO^2}$

$SO = \sqrt{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (4\sqrt{2})^2}$

$SO = \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{9} + 16 \cdot 2} = \sqrt{\frac{64}{3} + 32} = \sqrt{\frac{64+96}{3}} = \sqrt{\frac{160}{3}}$

$SO = \frac{\sqrt{160 \cdot 3}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{480}}{3} = \frac{\sqrt{16 \cdot 30}}{3} = \frac{4\sqrt{30}}{3}$ см.

Площадь $S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SO$

$S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2}) \cdot \frac{4\sqrt{30}}{3}$

$S_{SBD} = \frac{16\sqrt{60}}{3} = \frac{16\sqrt{4 \cdot 15}}{3} = \frac{16 \cdot 2\sqrt{15}}{3} = \frac{32\sqrt{15}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{SBD} = \frac{32\sqrt{15}}{3}$ см$^2$.