Номер 197, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

197. Сравните площади полных поверхностей куба, правильного октаэдра и правильного икосаэдра, ребро каждого из которых равно $a$.

Дано:

Куб, правильный октаэдр, правильный икосаэдр. Длина ребра каждого многогранника $a$.

Все данные уже представлены в одной системе измерения (например, в метрах, если $a$ в метрах). Перевод в СИ не требуется, так как $a$ является общим параметром.

Найти:

Сравнить площади полных поверхностей $S_{куба}$, $S_{октаэдра}$, $S_{икосаэдра}$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба:

Куб имеет 6 граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$.

Площадь полной поверхности куба $S_{куба}$ вычисляется по формуле:

$S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6a^2$

Площадь полной поверхности правильного октаэдра:

Правильный октаэдр имеет 8 граней, каждая из которых является правильным треугольником со стороной $a$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$A_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Площадь полной поверхности октаэдра $S_{октаэдра}$ вычисляется как 8 площадей таких треугольников:

$S_{октаэдра} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$

Площадь полной поверхности правильного икосаэдра:

Правильный икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых является правильным треугольником со стороной $a$. Площадь одной грани также равна $A_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

Площадь полной поверхности икосаэдра $S_{икосаэдра}$ вычисляется как 20 площадей таких треугольников:

$S_{икосаэдра} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 5\sqrt{3} a^2$

Сравнение площадей:

Теперь сравним полученные значения:

$S_{куба} = 6a^2$

$S_{октаэдра} = 2\sqrt{3} a^2$

$S_{икосаэдра} = 5\sqrt{3} a^2$

Для сравнения переведем $\sqrt{3}$ в десятичное приближение: $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

$S_{куба} = 6a^2$

$S_{октаэдра} \approx 2 \cdot 1.73205 a^2 \approx 3.46410 a^2$

$S_{икосаэдра} \approx 5 \cdot 1.73205 a^2 \approx 8.66025 a^2$

Сравнивая числовые коэффициенты при $a^2$:

$3.46410 < 6 < 8.66025$

Следовательно, в порядке возрастания площади поверхности: $S_{октаэдра} < S_{куба} < S_{икосаэдра}$.

Ответ:

Площадь поверхности октаэдра меньше площади поверхности куба, которая, в свою очередь, меньше площади поверхности икосаэдра. То есть $S_{октаэдра} < S_{куба} < S_{икосаэдра}$.