Номер 199, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

199. Найдите расстояние:

а) от точки $A(-2; 3; -4)$ до плоскостей $2x + 2y - z = 0$ и $2x + 2y - z + 3 = 0$;

б) от точки $B(1; -5; 0)$ до плоскостей $4x - 4y + 2z = 0$ и $4x - 4y - 4\sqrt{2} \cdot z + 16 = 0$.

Дано:

Точка $A(-2; 3; -4)$.

Плоскость $\pi_1: 2x + 2y - z = 0$.

Плоскость $\pi_2: 2x + 2y - z + 3 = 0$.

Точка $B(1; -5; 0)$.

Плоскость $\pi_3: 4x - 4y + 2z = 0$.

Плоскость $\pi_4: 4x - 4y - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$.

Найти:

а) Расстояние от точки $A$ до плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$.

б) Расстояние от точки $B$ до плоскостей $\pi_3$ и $\pi_4$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ используется формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

a) от точки A(-2; 3; -4) до плоскостей 2x + 2y - z = 0 и 2x + 2y - z + 3 = 0

Координаты точки $A$: $x_0 = -2$, $y_0 = 3$, $z_0 = -4$.

Для плоскости $\pi_1: 2x + 2y - z = 0$. Коэффициенты: $A=2, B=2, C=-1, D=0$.

Вычислим знаменатель (норму вектора нормали к плоскости):

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Вычислим числитель (модуль значения выражения плоскости при подстановке координат точки):

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |2(-2) + 2(3) + (-1)(-4) + 0| = |-4 + 6 + 4| = |6| = 6$.

Расстояние $d_1 = \frac{6}{3} = 2$.

Для плоскости $\pi_2: 2x + 2y - z + 3 = 0$. Коэффициенты: $A=2, B=2, C=-1, D=3$.

Знаменатель такой же, как и для $\pi_1$, то есть $3$.

Вычислим числитель:

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |2(-2) + 2(3) + (-1)(-4) + 3| = |-4 + 6 + 4 + 3| = |9| = 9$.

Расстояние $d_2 = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: $2$ и $3$.

б) от точки B(1; -5; 0) до плоскостей 4x - 4y + 2z = 0 и 4x - 4y - 4√2z + 16 = 0.

Координаты точки $B$: $x_0 = 1$, $y_0 = -5$, $z_0 = 0$.

Для плоскости $\pi_3: 4x - 4y + 2z = 0$. Коэффициенты: $A=4, B=-4, C=2, D=0$.

Вычислим знаменатель:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.

Вычислим числитель:

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |4(1) + (-4)(-5) + 2(0) + 0| = |4 + 20 + 0| = |24| = 24$.

Расстояние $d_3 = \frac{24}{6} = 4$.

Для плоскости $\pi_4: 4x - 4y - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$. Коэффициенты: $A=4, B=-4, C=-4\sqrt{2}, D=16$.

Вычислим знаменатель:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 16 + (16 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$.

Вычислим числитель:

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |4(1) + (-4)(-5) + (-4\sqrt{2})(0) + 16| = |4 + 20 + 0 + 16| = |40| = 40$.

Расстояние $d_4 = \frac{40}{8} = 5$.

Ответ: $4$ и $5$.