Номер 204, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

204. Через точку M(2; -1; -2) проходит плоскость, перпендикулярная вектору $\vec{n} = -4\vec{i} + 12\vec{j} - 3\vec{k}$. Найдите расстояние от точки B(2; 4; 5) до этой плоскости.

Дано:

Точка $M(2; -1; -2)$, через которую проходит плоскость.

Нормальный вектор плоскости $\vec{n} = -4\vec{i} + 12\vec{j} - 3\vec{k}$.

Точка $B(2; 4; 5)$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до данной плоскости.

Решение:

Для начала найдем уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

В нашем случае $M(x_0, y_0, z_0) = (2, -1, -2)$ и $\vec{n} = (-4, 12, -3)$, то есть $A = -4$, $B = 12$, $C = -3$.

Подставляем значения в уравнение:

$-4(x - 2) + 12(y - (-1)) - 3(z - (-2)) = 0$

$-4(x - 2) + 12(y + 1) - 3(z + 2) = 0$

Раскрываем скобки:

$-4x + 8 + 12y + 12 - 3z - 6 = 0$

Приводим подобные члены:

$-4x + 12y - 3z + (8 + 12 - 6) = 0$

$-4x + 12y - 3z + 14 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$4x - 12y + 3z - 14 = 0$

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_1, y_1, z_1) = (2, 4, 5)$ до этой плоскости. Формула для расстояния $d$ от точки $(x_1, y_1, z_1)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид:

$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Здесь $A=4$, $B=-12$, $C=3$, $D=-14$, а $x_1=2$, $y_1=4$, $z_1=5$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|4(2) + (-12)(4) + 3(5) + (-14)|}{\sqrt{4^2 + (-12)^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|8 - 48 + 15 - 14|}{\sqrt{16 + 144 + 9}}$

$d = \frac{|-40 + 15 - 14|}{\sqrt{169}}$

$d = \frac{|-25 - 14|}{13}$

$d = \frac{|-39|}{13}$

$d = \frac{39}{13}$

$d = 3$

Ответ:

Расстояние от точки $B(2; 4; 5)$ до плоскости равно $3$.