Номер 211, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Дворец Мира и Согласия,

г. Нур-Султан

211. Дан $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(5; 0; 5)$, $B(5; 5; 0)$, $C(5; 5; 5)$. Найдите расстояние от начала $O$ системы координат до плоскости $ABC$ и сравните его с расстоянием от точки $O$ до центра окружности, описанной около этого треугольника.

Дано

Точки: $A(5; 0; 5)$, $B(5; 5; 0)$, $C(5; 5; 5)$.

Начало координат: $O(0; 0; 0)$.

Найти:

1. Расстояние от начала $O$ системы координат до плоскости $ABC$.

2. Расстояние от точки $O$ до центра окружности, описанной около треугольника $ABC$.

3. Сравнить эти расстояния.

Решение

Нахождение расстояния от начала O системы координат до плоскости ABC

Для нахождения расстояния от точки до плоскости, сначала найдем уравнение плоскости $ABC$.

Определим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = B - A = (5-5; 5-0; 0-5) = (0; 5; -5)$

$\vec{AC} = C - A = (5-5; 5-0; 5-5) = (0; 5; 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ABC$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 5 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot 0 - (-5) \cdot 5) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-5) \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot 5 - 5 \cdot 0)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 + 25) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = (25; 0; 0)$

Можно взять более простой нормальный вектор, пропорциональный $(25; 0; 0)$, например $(1; 0; 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=1, B=0, C=0$:

$1x + 0y + 0z + D = 0 \implies x + D = 0$

Для нахождения $D$, подставим координаты одной из точек, например $A(5; 0; 5)$:

$5 + D = 0 \implies D = -5$

Таким образом, уравнение плоскости $ABC$ есть $x - 5 = 0$, или $x = 5$.

Расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для нашей плоскости $x - 5 = 0$ (где $A=1, B=0, C=0, D=-5$) и точки $O(0; 0; 0)$:

$d_{O, plane} = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{1}} = 5$

Ответ: $5$

Нахождение расстояния от точки O до центра окружности, описанной около этого треугольника

Сначала найдем длины сторон треугольника $ABC$:

$AB = \sqrt{(5-5)^2 + (5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$AC = \sqrt{(5-5)^2 + (5-0)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 25 + 0} = \sqrt{25} = 5$

$BC = \sqrt{(5-5)^2 + (5-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 0 + 25} = \sqrt{25} = 5$

Заметим, что $AC^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Также $AB^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$.

Поскольку $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине гипотенузы.

Гипотенузой является сторона $AB$. Найдем координаты середины $K$ отрезка $AB$:

$K = \left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$

$K = \left(\frac{5+5}{2}; \frac{0+5}{2}; \frac{5+0}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}; \frac{5}{2}; \frac{5}{2}\right) = (5; 2.5; 2.5)$

Теперь найдем расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до центра окружности $K(5; 2.5; 2.5)$:

$d_{O,K} = \sqrt{(5-0)^2 + (2.5-0)^2 + (2.5-0)^2}$

$d_{O,K} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2 + (5/2)^2}$

$d_{O,K} = \sqrt{25 + \frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{25 + \frac{50}{4}} = \sqrt{25 + \frac{25}{2}}$

$d_{O,K} = \sqrt{\frac{50}{2} + \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{75}{2}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}} = 5\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $5\frac{\sqrt{6}}{2}$

Сравнение найденных расстояний

Расстояние от начала координат до плоскости $ABC$: $d_{O, plane} = 5$.

Расстояние от начала координат до центра описанной окружности: $d_{O,K} = 5\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Для сравнения возведем в квадрат оба расстояния (или их части, разделив на 5):

Сравним $1$ и $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

$1^2 = 1$

$\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Так как $1 < \frac{3}{2}$, то $1 < \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Умножая обе части на 5, получаем $5 < 5\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Следовательно, расстояние от начала $O$ системы координат до плоскости $ABC$ меньше, чем расстояние от точки $O$ до центра окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: Расстояние от начала $O$ системы координат до плоскости $ABC$ ($5$) меньше расстояния от точки $O$ до центра окружности, описанной около этого треугольника ($5\frac{\sqrt{6}}{2}$).