Номер 215, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

215. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведено сечение через точки $M, N$ и $K$ – середины его ребер $A_1D_1$, $C_1D_1$ и $DD_1$ соответственно. Расстояние от точки $D_1$ до плоскости сечения равно 3. Найдите расстояние до плоскости $MNK$ от остальных вершин куба.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Точки $M, N, K$ - середины ребер $A_1D_1$, $C_1D_1$ и $DD_1$ соответственно.
Расстояние от точки $D_1$ до плоскости сечения $MNK$ равно 3.

Найти:

Расстояние до плоскости $MNK$ от остальных вершин куба.

Решение

1. Введение системы координат и определение координат точек

Пусть ребро куба равно $a$. Введем систему координат с началом в точке $D_1(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $D_1A_1$ (ось X), $D_1C_1$ (ось Y) и $D_1D$ (ось Z, направленная "вниз"). Тогда координаты вершин куба: $D_1=(0,0,0)$
$A_1=(a,0,0)$
$C_1=(0,a,0)$
$D=(0,0,-a)$
$B_1=(a,a,0)$
$A=(a,0,-a)$
$C=(0,a,-a)$
$B=(a,a,-a)$

Определим координаты точек $M, N, K$ как середины соответствующих ребер:
$M$ - середина $A_1D_1$. Координаты $A_1(a,0,0)$ и $D_1(0,0,0)$.
$M = (\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, 0)$.
$N$ - середина $C_1D_1$. Координаты $C_1(0,a,0)$ и $D_1(0,0,0)$.
$N = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, \frac{a}{2}, 0)$.
$K$ - середина $DD_1$. Координаты $D(0,0,-a)$ и $D_1(0,0,0)$.
$K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{-a+0}{2}) = (0, 0, -\frac{a}{2})$.

2. Определение уравнения плоскости $MNK$

Поскольку точки $M, N, K$ лежат на осях координат, они являются точками пересечения плоскости с осями. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
$\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1$
где $x_0, y_0, z_0$ - координаты точек пересечения плоскости с осями X, Y, Z соответственно.
Для наших точек $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$, $N(0, \frac{a}{2}, 0)$, $K(0, 0, -\frac{a}{2})$:
$x_0 = \frac{a}{2}$, $y_0 = \frac{a}{2}$, $z_0 = -\frac{a}{2}$.
Подставляем значения в уравнение:
$\frac{x}{a/2} + \frac{y}{a/2} + \frac{z}{-a/2} = 1$
Умножим все члены уравнения на $a/2$ для упрощения:
$x + y - z = \frac{a}{2}$
Перенесем константу в левую часть, чтобы получить общий вид уравнения плоскости $Ax+By+Cz+D_p=0$:
$x + y - z - \frac{a}{2} = 0$.

3. Определение длины ребра куба $a$

Расстояние от точки $(x_p, y_p, z_p)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$ определяется формулой:
$d = \frac{|Ax_p + By_p + Cz_p + D_p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Для нашей плоскости $x + y - z - \frac{a}{2} = 0$, коэффициенты: $A=1, B=1, C=-1, D_p = -\frac{a}{2}$.
Расстояние от точки $D_1(0,0,0)$ до плоскости $MNK$ равно 3 по условию задачи:
$d(D_1, MNK) = \frac{|1(0) + 1(0) - 1(0) - \frac{a}{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$d(D_1, MNK) = \frac{|-\frac{a}{2}|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{a/2}{\sqrt{3}}$
Приравниваем это к заданному расстоянию:
$\frac{a/2}{\sqrt{3}} = 3$
$\frac{a}{2} = 3\sqrt{3}$
$a = 6\sqrt{3}$.
Таким образом, ребро куба равно $6\sqrt{3}$. Уравнение плоскости $MNK$ окончательно принимает вид:
$x + y - z - \frac{6\sqrt{3}}{2} = 0$
$x + y - z - 3\sqrt{3} = 0$.

4. Расчет расстояний от остальных вершин куба до плоскости $MNK$

Используем уравнение плоскости $x + y - z - 3\sqrt{3} = 0$ и значение $a=6\sqrt{3}$.
Знаменатель в формуле расстояния для этой плоскости: $\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$.

Рассчитаем расстояния для остальных 7 вершин куба:

Для вершины $D(0,0,-a) = D(0,0,-6\sqrt{3})$:
$d(D, MNK) = \frac{|0 + 0 - (-6\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 3$.

Для вершины $A_1(a,0,0) = A_1(6\sqrt{3},0,0)$:
$d(A_1, MNK) = \frac{|6\sqrt{3} + 0 - 0 - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 3$.

Для вершины $C_1(0,a,0) = C_1(0,6\sqrt{3},0)$:
$d(C_1, MNK) = \frac{|0 + 6\sqrt{3} - 0 - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 3$.

Для вершины $B_1(a,a,0) = B_1(6\sqrt{3},6\sqrt{3},0)$:
$d(B_1, MNK) = \frac{|6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 0 - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|12\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$.

Для вершины $A(a,0,-a) = A(6\sqrt{3},0,-6\sqrt{3})$:
$d(A, MNK) = \frac{|6\sqrt{3} + 0 - (-6\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|9\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 9$.

Для вершины $C(0,a,-a) = C(0,6\sqrt{3},-6\sqrt{3})$:
$d(C, MNK) = \frac{|0 + 6\sqrt{3} - (-6\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|9\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 9$.

Для вершины $B(a,a,-a) = B(6\sqrt{3},6\sqrt{3},-6\sqrt{3})$:
$d(B, MNK) = \frac{|6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - (-6\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|12\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{|15\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 15$.

Ответ:

Расстояние от вершины $D$ до плоскости $MNK$ равно 3.
Расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $MNK$ равно 3.
Расстояние от вершины $C_1$ до плоскости $MNK$ равно 3.
Расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $MNK$ равно 9.
Расстояние от вершины $A$ до плоскости $MNK$ равно 9.
Расстояние от вершины $C$ до плоскости $MNK$ равно 9.
Расстояние от вершины $B$ до плоскости $MNK$ равно 15.