Номер 219, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

219. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

a) $\frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-4}{1}$ и $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z+1}{4}$;

б) $\frac{x-5}{-3} = \frac{y+1}{12} = \frac{z+2}{-4}$ и $\frac{x+7}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-4}{6}$.

a)

Дано:

Уравнения прямых:

$l_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-4}{1}$

$l_2: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z+1}{4}$

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется через их направляющие векторы. Если направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$ равны $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ соответственно, то косинус угла $\theta$ между ними вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ - скалярное произведение векторов, а $||\vec{a}||$ и $||\vec{b}||$ - их модули (длины).

Из уравнений прямых находим направляющие векторы:

Для $l_1$: $\vec{a} = (2, 2, 1)$

Для $l_2$: $\vec{b} = (2, 4, 4)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (2)(4) + (1)(4) = 4 + 8 + 4 = 16$

Вычислим модули векторов:

$||\vec{a}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|16|}{3 \cdot 6} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

Тогда угол $\theta$ равен:

$\theta = \arccos\left(\frac{8}{9}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{8}{9}\right)$

б)

Дано:

Уравнения прямых:

$l_1: \frac{x-5}{-3} = \frac{y+1}{12} = \frac{z+2}{-4}$

$l_2: \frac{x+7}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-4}{6}$

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Используем ту же формулу для нахождения угла между прямыми:

$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$

Из уравнений прямых находим направляющие векторы:

Для $l_1$: $\vec{a} = (-3, 12, -4)$

Для $l_2$: $\vec{b} = (2, 3, 6)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(2) + (12)(3) + (-4)(6) = -6 + 36 - 24 = 6$

Вычислим модули векторов:

$||\vec{a}|| = \sqrt{(-3)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$

$||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|6|}{13 \cdot 7} = \frac{6}{91}$

Тогда угол $\theta$ равен:

$\theta = \arccos\left(\frac{6}{91}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{6}{91}\right)$