Номер 222, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

222. a) Дан треугольник, вершинами которого являются точки $A(-1; -2; 4)$, $B(-4; -2; 0)$, $C(3; -2; 1)$. Найдите углы между прямыми, содержащими средние линии этого треугольника.

б) Дан треугольник, вершинами которого являются точки $A(3; -2; 1)$, $B(3; 0; 2)$ и $C(1; 2; 5)$. Найдите угол между прямыми: 1) $AB$ и $BC$; 2) $AC$ и $BM$, где $M$ – середина $AC$.

a)

Дано:

$A(-1; -2; 4)$
$B(-4; -2; 0)$
$C(3; -2; 1)$

Найти: Углы между прямыми, содержащими средние линии этого треугольника.

Решение:

Средние линии треугольника параллельны его сторонам. Следовательно, углы между прямыми, содержащими средние линии, совпадают с углами самого треугольника $ABC$. Найдем векторы сторон треугольника:

$\vec{AB} = B - A = (-4 - (-1); -2 - (-2); 0 - 4) = (-3; 0; -4)$
$\vec{AC} = C - A = (3 - (-1); -2 - (-2); 1 - 4) = (4; 0; -3)$
$\vec{BC} = C - B = (3 - (-4); -2 - (-2); 1 - 0) = (7; 0; 1)$

Вычислим длины этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{BC}| = \sqrt{7^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 0 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Найдем углы треугольника, используя формулу косинуса угла между векторами $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Угол $A$ (между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$):
$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{(-3)(4) + (0)(0) + (-4)(-3)}{(5)(5)} = \frac{-12 + 0 + 12}{25} = \frac{0}{25} = 0$
$A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$

Угол $B$ (между $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$):
$\vec{BA} = A - B = (-1 - (-4); -2 - (-2); 4 - 0) = (3; 0; 4)$
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(3)(7) + (0)(0) + (4)(1)}{(5)(5\sqrt{2})} = \frac{21 + 0 + 4}{25\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$B = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

Угол $C$ (между $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$):
$\vec{CA} = A - C = (-1 - 3; -2 - (-2); 4 - 1) = (-4; 0; 3)$
$\vec{CB} = B - C = (-4 - 3; -2 - (-2); 0 - 1) = (-7; 0; -1)$
$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{(-4)(-7) + (0)(0) + (3)(-1)}{(5)(5\sqrt{2})} = \frac{28 + 0 - 3}{25\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$C = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

Проверка: $90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

б)

Дано:

$A(3; -2; 1)$
$B(3; 0; 2)$
$C(1; 2; 5)$

Найти:

1) Угол между прямыми $AB$ и $BC$;
2) Угол между прямыми $AC$ и $BM$, где $M$ – середина $AC$.

Решение:

1) Угол между прямыми $AB$ и $BC$:

Для нахождения угла между прямыми $AB$ и $BC$ используем векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{BA} = A - B = (3 - 3; -2 - 0; 1 - 2) = (0; -2; -1)$
$\vec{BC} = C - B = (1 - 3; 2 - 0; 5 - 2) = (-2; 2; 3)$

Вычислим длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$

Найдем косинус угла между ними:

$\cos \phi_{AB,BC} = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(0)(-2) + (-2)(2) + (-1)(3)}{\sqrt{5}\sqrt{17}} = \frac{0 - 4 - 3}{\sqrt{85}} = \frac{-7}{\sqrt{85}}$

Угол между прямыми обычно определяется как острый угол, поэтому берем абсолютное значение косинуса:

$\phi_{AB,BC} = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{85}}\right)$

2) Угол между прямыми $AC$ и $BM$, где $M$ – середина $AC$:

Сначала найдем координаты точки $M$, середины отрезка $AC$:

$M = \left(\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}; \frac{z_A+z_C}{2}\right) = \left(\frac{3+1}{2}; \frac{-2+2}{2}; \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{0}{2}; \frac{6}{2}\right) = (2; 0; 3)$

Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BM}$:

$\vec{AC} = C - A = (1 - 3; 2 - (-2); 5 - 1) = (-2; 4; 4)$
$\vec{BM} = M - B = (2 - 3; 0 - 0; 3 - 2) = (-1; 0; 1)$

Вычислим длины этих векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$|\vec{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Найдем косинус угла между ними:

$\cos \phi_{AC,BM} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BM}}{|\vec{AC}| |\vec{BM}|} = \frac{(-2)(-1) + (4)(0) + (4)(1)}{(6)(\sqrt{2})} = \frac{2 + 0 + 4}{6\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\phi_{AC,BM} = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

Ответ: 1) $\arccos\left(\frac{7}{\sqrt{85}}\right)$; 2) $45^\circ$.