Номер 225, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

225. Точки $A(1; 0; 2)$, $B(2; 1; 0)$ и $C(1; 2; 0)$ являются последовательными вершинами параллелограмма $ABCD$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Дано:

Координаты последовательных вершин параллелограмма $ABCD$:

$A(1; 0; 2)$

$B(2; 1; 0)$

$C(1; 2; 0)$

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Решение:

1. Найдем координаты вершины $D$. В параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке $M$, которая является их серединой. Найдем координаты точки $M$ как середины отрезка $AC$:

$M_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

$M_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1$

$M_z = \frac{A_z + C_z}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1$

Таким образом, $M(1; 1; 1)$.

Теперь используем $M$ как середину отрезка $BD$. Пусть координаты вершины $D$ будут $(x_D; y_D; z_D)$:

$\frac{B_x + x_D}{2} = M_x \Rightarrow \frac{2 + x_D}{2} = 1 \Rightarrow 2 + x_D = 2 \Rightarrow x_D = 0$

$\frac{B_y + y_D}{2} = M_y \Rightarrow \frac{1 + y_D}{2} = 1 \Rightarrow 1 + y_D = 2 \Rightarrow y_D = 1$

$\frac{B_z + z_D}{2} = M_z \Rightarrow \frac{0 + z_D}{2} = 1 \Rightarrow z_D = 2$

Следовательно, координаты вершины $D(0; 1; 2)$.

2. Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, которые лежат на соответствующих прямых:

Вектор $\vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z) = (1 - 1; 2 - 0; 0 - 2) = (0; 2; -2)$

Вектор $\vec{BD} = (D_x - B_x; D_y - B_y; D_z - B_z) = (0 - 2; 1 - 1; 2 - 0) = (-2; 0; 2)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (0)(-2) + (2)(0) + (-2)(2) = 0 + 0 - 4 = -4$

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

5. Найдем косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$

$\cos \theta = \frac{-4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{-4}{4 \cdot 2} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

Поскольку искомый угол между прямыми обычно определяется как острый угол, берем абсолютное значение косинуса:

$\cos \alpha = |\cos \theta| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$

6. Найдем значение угла $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

Ответ:

Угол между прямыми $AC$ и $BD$ составляет $60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).