Номер 221, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

221.

а) Даны векторы $\vec{a}(0; -1; 2)$, $\vec{b}(2; 1; 2)$. Найдите угол между прямыми, содержащими векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$.

б) Даны векторы $\vec{p}(1; -2; 3)$, $\vec{q}(0; 4; -5)$. Найдите угол между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{a} = 2\vec{p} + \vec{q}$ и $\vec{b} = -2\vec{p} - 3\vec{q}$.

а) Дано:

$\vec{a} = (0; -1; 2)$

$\vec{b} = (2; 1; 2)$

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$

Угол $\phi$ между прямыми, содержащими векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Найдем координаты векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (0+2; -1+1; 2+2) = (2; 0; 4)$

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = (0-2; -1-1; 2-2) = (-2; -2; 0)$

Для нахождения угла $\phi$ между прямыми, содержащими векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$, используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos \theta = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| |\vec{d}|}$. Угол между прямыми является острым, поэтому $\cos \phi = |\cos \theta| = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{d}|}{|\vec{c}| |\vec{d}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c} \cdot \vec{d} = (2)(-2) + (0)(-2) + (4)(0) = -4 + 0 + 0 = -4$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Найдем косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\cos \theta = \frac{-4}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{2})} = \frac{-4}{4\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}$

Угол между прямыми $\phi$ находится как $\phi = \arccos(|\cos \theta|)$:

$\cos \phi = \left|\frac{-1}{\sqrt{10}}\right| = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$

$\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$

б) Дано:

$\vec{p} = (1; -2; 3)$

$\vec{q} = (0; 4; -5)$

$\vec{a} = 2\vec{p} + \vec{q}$

$\vec{b} = -2\vec{p} - 3\vec{q}$

Угол $\phi$ между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} = 2\vec{p} + \vec{q} = 2(1; -2; 3) + (0; 4; -5) = (2; -4; 6) + (0; 4; -5) = (2; 0; 1)$

$\vec{b} = -2\vec{p} - 3\vec{q} = -2(1; -2; 3) - 3(0; 4; -5) = (-2; 4; -6) - (0; 12; -15) = (-2; -8; 9)$

Для нахождения угла $\phi$ между прямыми, содержащими векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. Угол между прямыми является острым, поэтому $\cos \phi = |\cos \theta| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-2) + (0)(-8) + (1)(9) = -4 + 0 + 9 = 5$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 64 + 81} = \sqrt{149}$

Найдем косинус угла $\phi$ между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\cos \phi = \frac{|5|}{(\sqrt{5})(\sqrt{149})} = \frac{5}{\sqrt{5 \cdot 149}} = \frac{5}{\sqrt{745}}$

$\phi = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{745}}\right)$

$\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{745}}\right)$