Номер 227, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

227. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в котором $AB = 7$, $BC = 8$, $BB_1 = 10$, точки $M$ и $N$ – середины ребер $AD$ и $CC_1$ соответственно. Найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $MN$;

б) $CB_1$ и $MN$.

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
• $AB = 7$
• $BC = 8$
• $BB_1 = 10$
• Точка $M$ - середина ребра $AD$
• Точка $N$ - середина ребра $CC_1$

Найти:

• Угол между прямыми $AB$ и $MN$
• Угол между прямыми $CB_1$ и $MN$

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин параллелепипеда будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(7,0,0)$
• $C(7,8,0)$
• $D(0,8,0)$
• $A_1(0,0,10)$
• $B_1(7,0,10)$
• $C_1(7,8,10)$
• $D_1(0,8,10)$

Найдем координаты точек $M$ и $N$:

• $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M(0,4,0)$.
• $N$ - середина ребра $CC_1$. Координаты $N\left(\frac{7+7}{2}, \frac{8+8}{2}, \frac{0+10}{2}\right) = N(7,8,5)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым:

• Вектор $\vec{AB}$: $B - A = (7,0,0) - (0,0,0) = (7,0,0)$.
• Вектор $\vec{MN}$: $N - M = (7,8,5) - (0,4,0) = (7,4,5)$.
• Вектор $\vec{CB_1}$: $B_1 - C = (7,0,10) - (7,8,0) = (0,-8,10)$.

Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, находится по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

a) AB и MN

Пусть $\vec{u} = \vec{AB} = (7,0,0)$ и $\vec{v} = \vec{MN} = (7,4,5)$.

• Длина вектора $\vec{AB}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{7^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7$.
• Длина вектора $\vec{MN}$: $|\vec{MN}| = \sqrt{7^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
• Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{MN}$: $(7)(7) + (0)(4) + (0)(5) = 49$.

Тогда $\cos \theta_a = \frac{|49|}{7 \cdot \sqrt{90}} = \frac{49}{7 \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{7}{3\sqrt{10}}$.

Угол $\theta_a = \arccos\left(\frac{7}{3\sqrt{10}}\right) = \arccos\left(\frac{7\sqrt{10}}{30}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{7\sqrt{10}}{30}\right)$

б) CB₁ и MN

Пусть $\vec{u} = \vec{CB_1} = (0,-8,10)$ и $\vec{v} = \vec{MN} = (7,4,5)$.

• Длина вектора $\vec{CB_1}$: $|\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + (-8)^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}$.
• Длина вектора $\vec{MN}$: $|\vec{MN}| = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ (рассчитано ранее).
• Скалярное произведение $\vec{CB_1} \cdot \vec{MN}$: $(0)(7) + (-8)(4) + (10)(5) = 0 - 32 + 50 = 18$.

Тогда $\cos \theta_b = \frac{|18|}{\sqrt{164} \cdot \sqrt{90}} = \frac{18}{2\sqrt{41} \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{18}{6\sqrt{410}} = \frac{3}{\sqrt{410}}$.

Угол $\theta_b = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{410}}\right) = \arccos\left(\frac{3\sqrt{410}}{410}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3\sqrt{410}}{410}\right)$