Номер 230, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

230. Используя условие перпендикулярности прямых, докажите, что диагональ $AC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Доказать, что диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Решение:

Для доказательства используем метод координат. Условие перпендикулярности прямых в векторной алгебре выражается через скалярное произведение векторов: если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, и ось $z$ вдоль $AA_1$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (a, 0, 0)$
• $D = (0, a, 0)$
• $A_1 = (0, 0, a)$
• $C_1 = (a, a, a)$

Найдем вектор, представляющий диагональ $AC_1$:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$

Для доказательства перпендикулярности прямой плоскости необходимо и достаточно показать, что эта прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости. Выберем в плоскости $A_1BD$ два вектора, исходящих из одной точки, например, $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1D}$. Эти векторы не коллинеарны, так как они не лежат на одной прямой и не параллельны.

Найдем вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (a - 0, 0 - 0, 0 - a) = (a, 0, -a)$

Найдем вектор $\vec{A_1D}$:

$\vec{A_1D} = D - A_1 = (0 - 0, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a)$

Теперь проверим скалярное произведение вектора $\vec{AC_1}$ с каждым из этих векторов.

Скалярное произведение $\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B} = (a)(a) + (a)(0) + (a)(-a) = a^2 + 0 - a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{A_1B}$ перпендикулярны, что означает $AC_1 \perp A_1B$.

Скалярное произведение $\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1D}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1D} = (a)(0) + (a)(a) + (a)(-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{A_1D}$ перпендикулярны, что означает $AC_1 \perp A_1D$.

Так как диагональ $AC_1$ перпендикулярна двум непараллельным прямым $A_1B$ и $A_1D$, которые лежат в плоскости $A_1BD$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Ответ: Диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.